Lois de Kirchhoff: loi des nœuds, loi des mailles, conservation

Lois de Kirchhoff: loi des nœuds, loi des mailles, conservation

Les lois de Kirchhoff sont des principes fondamentaux utilisés pour l’analyse des circuits électriques et électroniques. Elles comprennent la loi des nœuds et la loi des mailles, qui décrivent respectivement la conservation de la charge et la conservation de l’énergie dans un circuit. La loi des nœuds stipule que la somme des courants entrant dans un nœud (un point de connexion de plusieurs branches) est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. La loi des mailles, quant à elle, énonce que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute maille fermée d’un circuit est nulle. Ces lois sont essentielles pour résoudre les circuits complexes et comprendre la distribution des courants et des tensions.

Formules à savoir

  • Loi des nœuds (première loi de Kirchhoff) :

    La somme algébrique des courants entrant dans un nœud est égale à la somme algébrique des courants sortant du nœud.

    \(\sum I_{entrant} = \sum I_{sortant}\)

    Ou, de manière équivalente :

    \(\sum I = 0\) (en considérant les courants entrants comme positifs et les courants sortants comme négatifs, ou vice-versa).

  • Loi des mailles (deuxième loi de Kirchhoff) :

    La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long d’une maille fermée est nulle.

    \(\sum V = 0\)

    Lors de l’application de la loi des mailles, il faut suivre une convention de signe :

    • Si l’on parcourt une source de tension de la borne négative vers la borne positive, la tension est comptée positivement.
    • Si l’on parcourt une résistance dans le sens du courant, la chute de tension est comptée négativement (selon la loi d’Ohm, \(V = -IR\)).
    • Si l’on parcourt une résistance dans le sens opposé au courant, la chute de tension est comptée positivement (\(V = +IR\)).

Exemples sur les lois de Kirchhoff: loi des nœuds, loi des mailles, conservation

Exemple 1 : Application de la loi des nœuds.

Considérons un nœud avec trois branches. Un courant de 2 A entre dans le nœud par la première branche, et un courant de 3 A entre également par la deuxième branche. Quel est le courant sortant par la troisième branche ?

Appliquons la loi des nœuds :

\(\sum I_{entrant} = \sum I_{sortant}\)

\(2 \ A + 3 \ A = I_{sortant}\)

\(I_{sortant} = 5 \ A\)

Le courant sortant par la troisième branche est de 5 A. Cet exemple illustre la conservation de la charge au niveau du nœud.

Exemple 2 : Application de la loi des mailles.

Considérons une maille simple avec une source de tension de 10 V et une résistance de 2 \(\Omega\) traversée par un courant I. Trouvons la valeur de I.

Appliquons la loi des mailles :

\(\sum V = 0\)

En parcourant la maille dans le sens horaire, on a :

\(10 \ V – I \cdot 2 \ \Omega = 0\)

\(I = \frac{10 \ V}{2 \ \Omega} = 5 \ A\)

Le courant traversant la maille est de 5 A.

Exemple 3 : Utilisation combinée de la loi des nœuds et de la loi des mailles.

Soit un circuit avec deux mailles et un nœud commun. La première maille contient une source de tension \(V_1\) de 20V et une résistance \(R_1\) de 4 \(\Omega\). La deuxième maille contient une source de tension \(V_2\) de 10V et une résistance \(R_2\) de 6 \(\Omega\). Une résistance \(R_3\) de 2 \(\Omega\) est connectée entre les deux mailles, au niveau du nœud commun. Trouvons les courants \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\) circulant respectivement dans \(R_1\), \(R_2\) et \(R_3\), en utilisant les lois de Kirchhoff.

Loi des nœuds au nœud commun (en considérant les courants entrants comme positifs) :

\(I_1 – I_2 – I_3 = 0\)

Loi des mailles pour la première maille (en parcourant dans le sens horaire) :

\(20V – 4\Omega \cdot I_1 – 2\Omega \cdot I_3 = 0\)

Loi des mailles pour la deuxième maille (en parcourant dans le sens horaire) :

\(-10V + 6\Omega \cdot I_2 – 2\Omega \cdot I_3 = 0\)

Nous avons un système de trois équations à trois inconnues. Résolvons-le :

De la première équation, on a : \(I_1 = I_2 + I_3\)

Substituons \(I_1\) dans la deuxième équation :

\(20 – 4(I_2 + I_3) – 2I_3 = 0\)

\(20 – 4I_2 – 6I_3 = 0\)

Multiplions la troisième équation par 2 pour obtenir un coefficient de -4 pour \(I_3\):

\(-20 + 12I_2 – 4I_3 = 0\)

Maintenant on a le système d’équations suivant :

\(20 – 4I_2 – 6I_3 = 0\)

\(-20 + 12I_2 – 4I_3 = 0\)

Additionnons les deux équations pour éliminer la constante 20:

\(8I_2 – 10I_3 = 0\)

Donc :

\(I_2 = \frac{10}{8}I_3 = 1.25 I_3\)

Substituons \(I_2\) dans la troisième équation initiale :

\(-10 + 6(1.25 I_3) – 2I_3 = 0\)

\(-10 + 7.5 I_3 – 2I_3 = 0\)

\(5.5 I_3 = 10\)

\(I_3 = \frac{10}{5.5} \approx 1.82 \ A\)

Maintenant, trouvons \(I_2\) :

\(I_2 = 1.25 \times I_3 = 1.25 \times 1.82 \approx 2.27 \ A\)

Enfin, trouvons \(I_1\) :

\(I_1 = I_2 + I_3 = 2.27 + 1.82 \approx 4.09 \ A\)

Les courants sont donc : \(I_1 \approx 4.09 \ A\), \(I_2 \approx 2.27 \ A\), et \(I_3 \approx 1.82 \ A\).