Impédance: réactance, phase, module, partie réelle/imaginaire

L’impédance est une grandeur fondamentale dans l’analyse des circuits électriques et électroniques en régime sinusoïdal. Elle généralise la notion de résistance aux circuits comportant des condensateurs et des inductances. L’impédance, notée Z, est un nombre complexe qui s’exprime en ohms ($\Omega$). Elle prend en compte non seulement l’opposition à l’amplitude du courant (comme la résistance), mais aussi le déphasage entre la tension et le courant. La réactance (X) représente la partie imaginaire de l’impédance et caractérise l’opposition au courant due aux condensateurs et aux inductances. La phase ($\phi$) de l’impédance indique le déphasage entre la tension et le courant. Le module (|Z|) de l’impédance représente l’amplitude de l’opposition au courant. L’impédance peut être décomposée en une partie réelle (R), qui correspond à la résistance, et une partie imaginaire (jX), qui correspond à la réactance.

Formules à savoir

Forme complexe de l’impédance :
$Z = R + jX$

où :
- $Z$ est l’impédance en ohms ($\Omega$).
- $R$ est la résistance (partie réelle) en ohms ($\Omega$).
- $X$ est la réactance (partie imaginaire) en ohms ($\Omega$).
- $j$ est l’unité imaginaire ($j^2 = -1$).
Réactance inductive :
$X_L = \omega L = 2\pi f L$

où :
- $X_L$ est la réactance inductive en ohms ($\Omega$).
- $\omega$ est la pulsation en radians par seconde (rad/s).
- $L$ est l’inductance en henrys (H).
- $f$ est la fréquence en hertz (Hz).
Réactance capacitive :
$X_C = -\frac{1}{\omega C} = -\frac{1}{2\pi f C}$

où :
- $X_C$ est la réactance capacitive en ohms ($\Omega$).
- $\omega$ est la pulsation en radians par seconde (rad/s).
- $C$ est la capacité en farads (F).
- $f$ est la fréquence en hertz (Hz).
Module de l’impédance :
$|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$
Phase de l’impédance :
$\phi = \arctan\left(\frac{X}{R}\right)$
Loi d’Ohm généralisée (en notation complexe) :
$\underline{V} = Z \cdot \underline{I}$

où $\underline{V}$ et $\underline{I}$ sont les valeurs complexes de la tension et du courant.

Exemples sur l’impédance, réactance, phase, module, partie réelle/imaginaire

Exemple 1 : Calcul de l’impédance d’un circuit RLC série.

Un circuit série est composé d’une résistance de 100 $\Omega$, d’une inductance de 0.5 H et d’un condensateur de 20 µF. La fréquence du signal est de 50 Hz.

Calcul de la réactance inductive :

$X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \ Hz \times 0.5 \ H \approx 157 \ \Omega$

Calcul de la réactance capacitive :

$X_C = -\frac{1}{2\pi f C} = -\frac{1}{2\pi \times 50 \ Hz \times 20 \times 10^{-6} \ F} \approx -159 \ \Omega$

Calcul de l’impédance :

$Z = R + j(X_L + X_C) = 100 \ \Omega + j(157 \ \Omega – 159 \ \Omega) = 100 – j2 \ \Omega$

L’impédance du circuit est $100 – j2 \ \Omega$. Sa partie réelle est 100 $\Omega$, sa partie imaginaire est -2 $\Omega$.

Exemple 2 : Calcul du module et de la phase de l’impédance.

Reprenons l’impédance calculée dans l’exemple 1 : $Z = 100 – j2 \ \Omega$.

Calcul du module :

$|Z| = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{100^2 + (-2)^2} \approx 100.02 \ \Omega$

Calcul de la phase :

$\phi = \arctan\left(\frac{X}{R}\right) = \arctan\left(\frac{-2}{100}\right) \approx -1.15^\circ$

Le module de l’impédance est d’environ 100.02 $\Omega$, et sa phase est d’environ -1.15 degrés. Le module indique l’amplitude de l’opposition au courant, et la phase indique que le courant est en avance de phase de 1.15 degrés par rapport à la tension.

Exemple 3 : Détermination de la réactance d’un composant à partir de l’impédance.

Un composant a une impédance de $Z = 50 + j86.6 \ \Omega$ à une fréquence donnée.

Déterminons la nature et la valeur de la réactance :

La partie réelle de l’impédance est la résistance, R = 50 $\Omega$.

La partie imaginaire de l’impédance est la réactance, X = 86.6 $\Omega$. Comme la réactance est positive, il s’agit d’une réactance inductive. Si la fréquence est connue, on peut calculer la valeur de l’inductance L correspondante.

Si, par exemple la fréquence est de 100Hz, l’inductance sera :

$L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{86.6 \ \Omega}{2 \pi \times 100 \ Hz} = 0.138 H$