Admittance: siemens, conductance, susceptance, inverse d’impédance
L’admittance est une grandeur physique qui représente la facilité avec laquelle un circuit électrique ou électronique laisse passer le courant alternatif. Elle est l’inverse de l’impédance et est notée Y. L’unité de l’admittance est le siemens (S), anciennement appelé le mho (\(\mho\)). Tout comme l’impédance, l’admittance est un nombre complexe qui peut être décomposé en une partie réelle appelée conductance (G) et une partie imaginaire appelée susceptance (B). La conductance représente la capacité d’un circuit à conduire le courant en phase avec la tension, tandis que la susceptance représente la capacité d’un circuit à conduire le courant en quadrature de phase (déphasé de 90°) avec la tension.
Formules à savoir
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Admittance complexe :
\(Y = \frac{1}{Z} = G + jB\)
où :
- \(Y\) est l’admittance en siemens (S).
- \(Z\) est l’impédance en ohms (\(\Omega\)).
- \(G\) est la conductance en siemens (S).
- \(B\) est la susceptance en siemens (S).
- \(j\) est l’unité imaginaire (\(j^2 = -1\)).
-
Conductance :
\(G = \frac{R}{R^2 + X^2}\)
où :
- \(G\) est la conductance en siemens (S).
- \(R\) est la résistance en ohms (\(\Omega\)).
- \(X\) est la réactance en ohms (\(\Omega\)).
-
Susceptance :
\(B = \frac{-X}{R^2 + X^2}\)
où :
- \(B\) est la susceptance en siemens (S).
- \(X\) est la réactance en ohms (\(\Omega\)).
- \(R\) est la résistance en ohms (\(\Omega\)).
-
Susceptance inductive :
\(B_L = -\frac{1}{X_L} = -\frac{1}{\omega L} = -\frac{1}{2\pi f L}\)
où :
- \(B_L\) est la susceptance inductive en siemens (S).
- \(X_L\) est la réactance inductive en ohms (\(\Omega\)).
- \(\omega\) est la pulsation en radians par seconde (rad/s).
- \(L\) est l’inductance en henrys (H).
- \(f\) est la fréquence en hertz (Hz).
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Susceptance capacitive :
\(B_C = \frac{1}{X_C} = \omega C = 2\pi f C\)
où :
- \(B_C\) est la susceptance capacitive en siemens (S).
- \(X_C\) est la réactance capacitive en ohms (\(\Omega\)).
- \(\omega\) est la pulsation en radians par seconde (rad/s).
- \(C\) est la capacité en farads (F).
- \(f\) est la fréquence en hertz (Hz).
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Module de l’admittance :
\(|Y| = \sqrt{G^2 + B^2} = \frac{1}{|Z|}\)
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Phase de l’admittance :
\(\phi_Y = \arctan\left(\frac{B}{G}\right) = -\phi_Z\)
Exemples sur l’admittance, siemens, conductance, susceptance, inverse d’impédance
Exemple 1 : Calcul de l’admittance à partir de l’impédance.
Un circuit a une impédance \(Z = 3 + j4 \ \Omega\).
Calcul de l’admittance :
\(Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{3 + j4}\)
Pour diviser par un nombre complexe, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
\(Y = \frac{1}{3 + j4} \cdot \frac{3 – j4}{3 – j4} = \frac{3 – j4}{3^2 + 4^2} = \frac{3 – j4}{25} = 0.12 – j0.16 \ S\)
L’admittance du circuit est \(Y = 0.12 – j0.16 \ S\). La conductance est \(G = 0.12 \ S\) et la susceptance est \(B = -0.16 \ S\).
Exemple 2 : Calcul de la conductance et de la susceptance à partir de la résistance et de la réactance.
Un circuit a une résistance de 6 \(\Omega\) et une réactance inductive de 8 \(\Omega\).
Calcul de la conductance :
\(G = \frac{R}{R^2 + X^2} = \frac{6}{6^2 + 8^2} = \frac{6}{100} = 0.06 \ S\)
Calcul de la susceptance :
\(B = \frac{-X}{R^2 + X^2} = \frac{-8}{6^2 + 8^2} = \frac{-8}{100} = -0.08 \ S\)
La conductance du circuit est \(G = 0.06 \ S\) et la susceptance est \(B = -0.08 \ S\).
Exemple 3 : Détermination de la susceptance d’un composant à partir de l’admittance.
Un composant a une admittance \(Y = 0.02 + j0.05 \ S\) à une fréquence donnée.
Déterminons la nature et la valeur de la susceptance :
La partie réelle de l’admittance est la conductance, \(G = 0.02 \ S\).
La partie imaginaire de l’admittance est la susceptance, \(B = 0.05 \ S\). Comme la susceptance est positive, il s’agit d’une susceptance capacitive. Si la fréquence est connue, on peut calculer la valeur de la capacité C correspondante.
Si par exemple, la fréquence est de 60 Hz:
\(C = \frac{B_C}{2 \pi f} = \frac{0.05 \ S}{2 \pi \times 60 \ Hz} \approx 132.63 \mu F\)
La capacité est d’environ 132.63 µF.