Les trois lois de Newton

Les trois lois de Newton constituent le fondement de la mécanique classique, décrivant la relation entre les forces agissant sur un corps et le mouvement de ce dernier. Ces lois, universellement applicables dans le domaine de la mécanique non relativiste, permettent d’analyser et de prédire une vaste gamme de phénomènes physiques.

Les trois lois de Newton

Première loi de Newton (Principe d’inertie): En l’absence de forces extérieures ou si la résultante des forces extérieures est nulle, tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme. Mathématiquement, si la force résultante \(\sum \vec{F} = \vec{0}\), alors l’accélération \(\vec{a} = \vec{0}\), ce qui implique une vitesse \(\vec{v}\) constante (pouvant être nulle).

\[ \sum \vec{F} = \vec{0} \implies \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{0} \implies \vec{v} = \text{constante} \]

Cette loi introduit la notion d’inertie, la tendance naturelle des corps à conserver leur état de mouvement.

Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique): L’accélération d’un corps est directement proportionnelle à la résultante des forces qui s’exercent sur lui, inversement proportionnelle à sa masse, et dirigée dans la direction de la force résultante. C’est la loi fondamentale de la dynamique, exprimée par :

\[ \sum \vec{F} = m\vec{a} \]

Où \(\sum \vec{F}\) est la somme vectorielle des forces extérieures, \(m\) est la masse du corps, et \(\vec{a}\) est son accélération. Cette loi établit un lien quantitatif entre force et mouvement.

Troisième loi de Newton (Principe de l’action et de la réaction): Lorsque deux corps interagissent, la force que le corps A exerce sur le corps B (action) est égale en magnitude, opposée en direction, et colinéaire à la force que le corps B exerce sur le corps A (réaction). Ces forces agissent sur des corps différents et constituent une paire action-réaction.

\[ \vec{F}_{A \rightarrow B} = – \vec{F}_{B \rightarrow A} \]

Ce principe est crucial pour comprendre les interactions et la conservation de la quantité de mouvement dans un système.

Exemples sur Les trois lois de Newton

$\vec{P}$ $\vec{N}$ $\vec{T}$ $\vec{f}$ Bloc sur plan horizontal

Illustration 1: Bloc tiré sur un plan horizontal avec force de traction \(\vec{T}\), soumis au poids \(\vec{P}\), à la réaction normale \(\vec{N}\) du plan, et à la force de friction \(\vec{f}\). L’analyse des forces et l’application de les lois de Newton permettent de déterminer le mouvement du bloc.

Exemple d’exercice:

Un bloc de masse \(m = 5\) kg est tiré sur une surface horizontale avec une force de traction \(T = 20\) N faisant un angle de \(30^\circ\) au-dessus de l’horizontale. Le coefficient de friction cinétique entre le bloc et la surface est \(\mu_k = 0.2\). Calculer l’accélération du bloc en appliquant les lois de Newton.

  1. Dessiner le diagramme des forces agissant sur le bloc.
  2. Appliquer la deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) en composantes horizontale et verticale.
  3. Résoudre le système d’équations pour trouver l’accélération horizontale du bloc.

Solution:

  1. Diagramme des forces: Voir Illustration 1. Forces: Poids \(\vec{P} = m\vec{g}\) (vertical vers le bas), Normale \(\vec{N}\) (vertical vers le haut), Traction \(\vec{T}\) (angle \(30^\circ\) au-dessus de l’horizontale), Friction cinétique \(\vec{f}_k\) (horizontale opposée au mouvement).
  2. Application de la 2ème loi de Newton:
    • Composante horizontale (axe x): \(T\cos(30^\circ) – f_k = m a_x\)
    • Composante verticale (axe y): \(N + T\sin(30^\circ) – P = 0 \implies N = P – T\sin(30^\circ) = mg – T\sin(30^\circ)\)
    • Force de friction cinétique: \(f_k = \mu_k N = \mu_k (mg – T\sin(30^\circ))\)
  3. Résolution: Substituer l’expression de \(f_k\) dans l’équation horizontale: \(T\cos(30^\circ) – \mu_k (mg – T\sin(30^\circ)) = m a_x\). \[ a_x = \frac{T\cos(30^\circ) – \mu_k (mg – T\sin(30^\circ))}{m} \] \[ a_x = \frac{(20 \text{ N})\cos(30^\circ) – 0.2 \times ((5 \text{ kg})(9.8 \text{ m/s}^2) – (20 \text{ N})\sin(30^\circ))}{5 \text{ kg}} \] \[ a_x \approx \frac{(20 \times 0.866) – 0.2 \times (49 – 10)}{5} \approx \frac{17.32 – 0.2 \times 39}{5} \approx \frac{17.32 – 7.8}{5} \approx \frac{9.52}{5} \approx 1.904 \text{ m/s}^2 \] L’accélération horizontale du bloc est d’environ \(1.904 \text{ m/s}^2\).
Bloc A Bloc B Corde

Illustration 2: Machine d’Atwood idéale. Deux masses (Bloc A et Bloc B) reliées par une corde idéale passant par une poulie idéale. L’analyse de ce système simple illustre l’application de les trois lois de Newton.

Exemple d’exercice:

Considérons une machine d’Atwood idéale, avec deux masses \(m_A = 2\) kg et \(m_B = 3\) kg, reliées par une corde inextensible et de masse négligeable passant par une poulie sans frottement et de masse négligeable. Calculer l’accélération du système et la tension dans la corde, en appliquant les lois de Newton.

  1. Dessiner les diagrammes de corps libre pour chaque masse.
  2. Appliquer la deuxième loi de Newton à chaque masse.
  3. Résoudre le système d’équations pour trouver l’accélération et la tension.

Solution:

  1. Diagrammes de corps libre:
    • Pour \(m_A\): Forces: Tension \(\vec{T}\) (vers le haut), Poids \(\vec{P}_A = m_A\vec{g}\) (vers le bas).
    • Pour \(m_B\): Forces: Tension \(\vec{T}\) (vers le haut), Poids \(\vec{P}_B = m_B\vec{g}\) (vers le bas).
  2. Application de la 2ème loi de Newton: En prenant la direction positive vers le haut pour \(m_A\) et vers le bas pour \(m_B\) (pour que l’accélération soit la même en magnitude pour les deux masses):
    • Pour \(m_A\): \(T – m_A g = m_A a\) (1)
    • Pour \(m_B\): \(m_B g – T = m_B a\) (2)
  3. Résolution: Additionner les équations (1) et (2) pour éliminer \(T\): \((T – m_A g) + (m_B g – T) = m_A a + m_B a \implies (m_B – m_A)g = (m_A + m_B)a\). \[ a = \frac{m_B – m_A}{m_A + m_B} g = \frac{3 \text{ kg} – 2 \text{ kg}}{2 \text{ kg} + 3 \text{ kg}} \times (9.8 \text{ m/s}^2) = \frac{1}{5} \times (9.8 \text{ m/s}^2) = 1.96 \text{ m/s}^2 \] Substituer la valeur de \(a\) dans l’équation (1) pour trouver \(T\): \(T = m_A g + m_A a = m_A (g + a) = (2 \text{ kg}) \times (9.8 \text{ m/s}^2 + 1.96 \text{ m/s}^2) = (2 \text{ kg}) \times (11.76 \text{ m/s}^2) = 23.52 \text{ N}\). L’accélération du système est \(1.96 \text{ m/s}^2\) et la tension dans la corde est \(23.52 \text{ N}\).