Analyse des mailles: courants, tensions, lois de Kirchhoff

Bienvenue dans ce cours d’électrocinétique dédié à l’Analyse des mailles: courants, tensions, lois de Kirchhoff. Ce module de circuits électriques et électroniques vous permettra de maîtriser les outils essentiels pour l’analyse des circuits complexes. Nous explorerons en détail les concepts de courants, tensions et les lois fondamentales de Kirchhoff, avec des exemples concrets et des applications pratiques.

Les fondamentaux des circuits électriques

Avant d’entrer dans l’analyse des mailles, il est crucial de comprendre les notions de base des circuits électriques.

Définition : Un circuit électrique est un ensemble de composants électroniques interconnectés, permettant le passage d’un courant électrique.

Les éléments clés à connaître sont :

Tension (U) : Différence de potentiel électrique, mesurée en volts (V). La tension représente la « force » qui pousse les électrons à se déplacer dans le circuit.
Courant (I) : Débit de charges électriques, mesuré en ampères (A). Le courant représente le flux d’électrons à travers un conducteur.
Résistance (R) : Opposition au passage du courant, mesurée en ohms (Ω). La résistance limite le courant qui circule dans le circuit.

Loi d’Ohm : La relation fondamentale entre la tension, le courant et la résistance est donnée par la loi d’Ohm : \(U = R \cdot I\).

Lois de Kirchhoff: Les piliers de l’analyse

Les lois de Kirchhoff sont au cœur de l’analyse des circuits. Elles décrivent le comportement des courants et des tensions dans les circuits complexes. Nous allons détailler les deux lois essentielles.

Loi des nœuds (ou loi des courants de Kirchhoff – LCK) : La somme des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des courants sortants de ce même nœud. Autrement dit, la charge électrique est conservée dans un nœud. Mathématiquement: \(\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\) pour tous les courants se rencontrant au nœud.

Loi des mailles (ou loi des tensions de Kirchhoff – LTK) : La somme des tensions (différences de potentiel) le long d’une boucle fermée dans un circuit est égale à zéro. Cela découle de la conservation de l’énergie. Mathématiquement: \(\sum_{k=1}^{n} V_k = 0\) pour toutes les tensions autour d’une maille.

Ces deux lois forment la base pour résoudre les circuits complexes.

Méthode d’analyse des mailles

L’analyse des mailles est une méthode systématique pour déterminer les courants dans un circuit. Cette méthode est particulièrement utile quand on a plusieurs sources de tensions.

Les étapes clés de la méthode des mailles sont :

Identifier les mailles: Une maille est un chemin fermé dans le circuit.
Assigner des courants de maille: Attribuer un courant de maille \(I_k\) à chaque maille. Les courants de maille sont considérés comme circulant dans le sens horaire (ou anti-horaire) pour une convention de signe.
Appliquer la LTK: Écrire les équations de tension pour chaque maille en utilisant la loi des tensions de Kirchhoff.
Résoudre le système d’équations: Résoudre le système d’équations pour trouver les courants de maille. Les techniques de résolution incluent la substitution, l’élimination de Gauss-Jordan, ou les matrices.
Calculer les courants de branche: Une fois les courants de maille déterminés, calculer les courants dans chaque branche du circuit en utilisant les courants de maille.

Exemples et applications de l’Analyse des Mailles

Illustrons ces concepts avec deux exemples détaillés.

Exemple 1 : Considérons un circuit avec deux mailles et deux sources de tension (voir schéma ci-dessous, schématisation textuelle). Maille 1 contient une source de tension de 10V et des résistances de 2Ω et 4Ω, et Maille 2 contient une source de tension de 5V, une résistance de 1Ω et la résistance de 4Ω partagée avec Maille 1. On cherche les courants dans chaque branche et la tension aux bornes de chaque résistance.

Solution: On applique la LTK pour chaque maille. Pour la Maille 1 : 10V – 2Ω*I1 – 4Ω*(I1-I2) = 0 et pour la Maille 2 : -5V + 1Ω*I2 + 4Ω*(I2-I1) = 0. Simplification des équations, nous obtenons deux équations : 6*I1 – 4*I2 = 10 et -4*I1 + 5*I2 = 5. En résolvant ce système (par substitution), on trouve : I1 ≈ 3.33A et I2 ≈ 4.33A. Le courant dans la résistance de 4Ω est I1-I2 ≈ -1A (courant dans le sens opposé). Les tensions sont calculées via U = R * I.

Exemple 2 : Circuit avec trois mailles et deux sources de courant (schéma textuel). Maille 1 : une source de courant de 2A, une résistance de 3Ω et la résistance de 6Ω. Maille 2: la résistance de 6Ω, une source de courant de 1A et la résistance de 9Ω, et Maille 3 : résistance de 12Ω.

Solution: La LCK peut d’abord nous aider. On peut écrire directement des équations simplifiées. Dans la maille 1 : 2A est la valeur directement. Ensuite, les résistances de 3Ω et 6Ω sont traversées par 2A. La deuxième maille est traversée par 1A et aussi le partage de courant via la résistance de 6 Ω. Calcul du courant dans la résistance de 6 Ω est donné par la LCK : -2A + I + 1A = 0 donc I = 1A (sens opposé). La troisième maille sera résolue par 9Ω * 1A = 9V ce qui équivaut à la tension dans le résistance de 6 Ω. Enfin, on calcule la tension dans la résistance de 12 Ω par 12* ( 2-1+1)= 24 V ( I1 = 2 , I2=1 et I3=1A dans le sens des aiguilles d’une montre).

Paramètre	Description
Tension	Mesurée en Volts (V), représente la différence de potentiel électrique.
Courant	Mesuré en Ampères (A), représente le débit de charges électriques.

L’analyse des mailles est un outil puissant. N’hésitez pas à explorer davantage de problèmes pour renforcer votre compréhension et d’appliquer le principe de l’Analyse des mailles: courants, tensions, lois de Kirchhoff

Loi	Description
Loi des nœuds	La somme des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des courants sortants.
Loi des mailles	La somme des tensions dans une maille fermée est égale à zéro.