Réponse fréquentielle: amplitude, phase, gain, atténuation

Réponse fréquentielle: amplitude, phase, gain, atténuation

Formules à savoir

Pour comprendre et analyser la Réponse fréquentielle: amplitude, phase, gain, atténuation, plusieurs formules sont essentielles. Voici les principales :

• Fonction de transfert \(H(j\omega)\) : Représente la relation entre le signal de sortie \(V_{out}\) et le signal d’entrée \(V_{in}\) en fonction de la fréquence angulaire \(\omega\). \(H(j\omega) = \frac{V_{out}(j\omega)}{V_{in}(j\omega)}\)
• Amplitude \(|H(j\omega)|\) : Mesure de l’amplification (ou de l’atténuation) du signal à une fréquence donnée. \(|H(j\omega)| = \sqrt{Re\{H(j\omega)\}^2 + Im\{H(j\omega)\}^2}\)
• Phase \(\phi(\omega)\) : Décalage temporel entre le signal d’entrée et le signal de sortie, exprimé en radians ou en degrés. \(\phi(\omega) = arctan\left(\frac{Im\{H(j\omega)\}}{Re\{H(j\omega)\}}\right)\)
• Gain \(G(\omega)\) (en dB) : Exprime l’amplitude de la fonction de transfert en échelle logarithmique. \(G(\omega) = 20 \cdot log_{10}(|H(j\omega)|)\)
• Atténuation : Correspond à la diminution de l’amplitude du signal. Elle est l’inverse du gain lorsque le gain est inférieur à 1, ou que le gain est négatif en dB.

Exemples sur la Réponse fréquentielle: amplitude, phase, gain, atténuation

Explorons maintenant comment ces concepts s’appliquent à différents circuits.

Exemple 1 : Filtre passe-bas RC. On considère un circuit RC simple, composé d’une résistance \(R\) et d’un condensateur \(C\) montés en série, avec la tension d’entrée appliquée aux bornes du circuit et la tension de sortie prise aux bornes du condensateur. On souhaite analyser la réponse fréquentielle du circuit.

Solution: La fonction de transfert est \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC}\). L’amplitude est \(|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\) et la phase est \(\phi(\omega) = -arctan(\omega RC)\). Le gain en dB est \(G(\omega) = 20 \cdot log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\right)\). À basse fréquence (\(\omega \rightarrow 0\)), l’amplitude tend vers 1 (ou le gain vers 0 dB), et la phase est proche de 0. À haute fréquence (\(\omega \rightarrow \infty\)), l’amplitude tend vers 0 (atténuation), et la phase tend vers -90 degrés (déphasage important).

Exemple 2 : Filtre passe-bande RLC. Considérons un circuit RLC série. On veut étudier la réponse fréquentielle en termes de gain et de phase à différentes fréquences. La sortie est prise aux bornes de la résistance.

Solution: La fonction de transfert \(H(j\omega) = \frac{R}{R + j(\omega L – \frac{1}{\omega C})}\). L’amplitude de la fonction de transfert est \(|H(j\omega)| = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L – \frac{1}{\omega C})^2}}\). La phase \(\phi(\omega) = -arctan\left(\frac{\omega L – \frac{1}{\omega C}}{R}\right)\). Le gain en dB, quant à lui, est \(G(\omega) = 20 \cdot log_{10}\left(\frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L – \frac{1}{\omega C})^2}}\right)\). La fréquence de résonance est \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\). À cette fréquence, l’impédance de l’inductance et du condensateur s’annule, et le gain est maximal.

Exemple 3 : Amplificateur opérationnel (AO) en boucle ouverte. On examine la réponse fréquentielle d’un amplificateur opérationnel en boucle ouverte. Il faut tenir compte du gain en boucle ouverte (très élevé à basse fréquence) et de la bande passante limitée de l’AO.

Solution: La fonction de transfert de l’amplificateur en boucle ouverte est souvent modélisée comme \(H(s) = \frac{A_0}{1 + s/\omega_c}\) où \(A_0\) est le gain statique, s = jω, et \(\omega_c\) est la fréquence de coupure. L’amplitude est approximativement constante et égale à \(A_0\) jusqu’à la fréquence de coupure, après quoi elle diminue avec une pente de -20 dB/décade. La phase commence à se décaler autour de la fréquence de coupure. La connaissance de ces paramètres permet de concevoir et d’optimiser des circuits électroniques à amplificateurs opérationnels.