Limite à droite d’une fonction
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et soit \(a\) un point de \(I\) ou une borne de \(I\). La limite à droite d’une fonction \(f\) en un point \(a\) est la valeur vers laquelle tend \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) par valeurs supérieures à \(a\).
La notion de limite à droite d’une fonction est un concept fondamental en analyse, qui permet d’étudier le comportement d’une fonction au voisinage d’un point, en particulier lorsque la fonction n’est pas définie en ce point ou y présente une discontinuité.
Définition :Soit \(f: D \to \mathbb{R}\) une fonction définie sur un ensemble \(D \subset \mathbb{R}\) et \(a\) un point adhérent à \(D \cap ]a, +\infty[\).
On dit que \(f\) admet une limite à droite en \(a\), notée \(\lim_{x \to a^+} f(x)\), si et seulement si :
\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D, a < x < a + \delta \implies |f(x) - l| < \epsilon\]Ou, de manière équivalente, pour toute suite \((x_n)\) d’éléments de \(D \cap ]a, +\infty[\) qui converge vers \(a\), la suite \((f(x_n))\) converge vers \(l\).
Proposition :Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\) (sauf peut-être en \(a\)).
- Si \(f\) admet une limite \(L\) en \(a\), alors la limite à droite et la limite à gauche de \(f\) en \(a\) existent et sont toutes deux égales à \(L\).
- Réciproquement, si la limite à droite et la limite à gauche de \(f\) en \(a\) existent et sont égales à une même valeur \(L\), alors \(f\) admet une limite en \(a\) et cette limite est \(L\).
Exemples sur la limite à droite d’une fonction
Exemple 1 :
Considérons la fonction \(f(x)\) définie par :
\[ f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} \]Calculons la limite à droite de \(f\) en \(0\).
Pour \(x \ge 0\), on a \(f(x) = x^2\). Donc, lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures, \(f(x)\) tend vers \(0^2 = 0\).
Ainsi, la limite à droite de \(f\) en \(0\) est :
\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\]Exemple 2 :
Considérons la fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) définie pour tout \(x \neq 0\).
Calculons la limite à droite de \(f\) en \(0\).
Lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures (c’est-à-dire \(x > 0\)), \(\frac{1}{x}\) prend des valeurs positives de plus en plus grandes.
Ainsi, la limite à droite de \(f\) en \(0\) est :
\[\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\]