Asymptotes : horizontales, verticales et obliques
En analyse mathématique, les asymptotes jouent un rôle crucial dans l’étude du comportement des fonctions, notamment lorsqu’on s’intéresse à leurs limites. Ce guide complet sur les asymptotes a pour but de définir, d’expliquer et d’illustrer les différents types d’asymptotes que l’on peut rencontrer : horizontales, verticales et obliques.
Définitions:-
Asymptote verticale :
Une droite verticale d’équation \(x = a\) est une asymptote verticale à la courbe représentative d’une fonction \(f\) si la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) (par valeurs supérieures ou inférieures) est égale à \(+\infty\) ou \(-\infty\).
\[\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty\] -
Asymptote horizontale :
Une droite horizontale d’équation \(y = b\) est une asymptote horizontale à la courbe représentative d’une fonction \(f\) si la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) est égale à \(b\).
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = b \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = b\] -
Asymptote oblique :
Une droite d’équation \(y = mx + p\) (avec \(m \neq 0\)) est une asymptote oblique à la courbe représentative d’une fonction \(f\) si la limite de \(f(x) – (mx + p)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) est égale à 0.
\[\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (mx + p)] = 0 \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to -\infty} [f(x) – (mx + p)] = 0\]
-
Si \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = m\) (avec \(m \neq 0\) et \(m\) fini) et \(\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) – mx) = p\) (avec \(p\) fini), alors la droite d’équation \(y=mx+p\) est une asymptote oblique à la courbe de f en \(+\infty\) ou \(-\infty\).
Exemples sur les asymptotes : horizontales, verticales et obliques
Exercice 1 :
Soit la fonction \(f\) définie par : \[f(x) = \frac{x^3 – 2x^2 + 1}{x^2 – 4}\] Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et obliques de la courbe représentative de \(f\).
Solution :
- Asymptotes verticales :
- Asymptotes horizontales :
- Asymptotes obliques :
Les asymptotes verticales sont déterminées par les valeurs de \(x\) qui annulent le dénominateur. Ici, le dénominateur \(x^2 – 4\) s’annule pour \(x = 2\) et \(x = -2\).
Calculons les limites en ces points :
\[\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\] \[\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty\]Donc, les droites d’équations \(x = 2\) et \(x = -2\) sont des asymptotes verticales.
Pour déterminer les asymptotes horizontales, on calcule la limite de \(f(x)\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Comme le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, il n’y a pas d’asymptote horizontale.
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]Pour trouver une éventuelle asymptote oblique, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur :
\[f(x) = x – 2 + \frac{4x – 7}{x^2 – 4}\]On a alors :
\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x – 7}{x^2 – 4} = 0\]Donc, la droite d’équation \(y = x – 2\) est une asymptote oblique à la courbe de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Exercice 2 :
Soit la fonction \(f\) définie par : \[f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 5}\] Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et obliques de la courbe représentative de \(f\).
Solution :
- Asymptotes verticales :
- Asymptotes horizontales :
- Asymptotes obliques :
La fonction est définie sur \(\mathbb{R}\), car \(x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1 > 0\) pour tout \(x\). Il n’y a donc pas d’asymptote verticale.
Comme \(x^2 + 4x + 5\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) dans les deux cas. Il n’y a pas d’asymptote horizontale.
Pour \(x > 0\), on peut écrire :
\[f(x) = \sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2})} = x\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}}\]En utilisant le développement limité \(\sqrt{1+u} = 1 + \frac{u}{2} + o(u)\) au voisinage de 0, on obtient :
\[f(x) = x(1 + \frac{2}{x} + o(\frac{1}{x})) = x + 2 + o(1)\]Ainsi, \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) – (x+2)) = 0\), donc la droite d’équation \(y = x+2\) est une asymptote oblique en \(+\infty\).
Pour \(x < 0\), on écrit :
\[f(x) = -x\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}} = -x(1 + \frac{2}{x} + o(\frac{1}{x})) = -x – 2 + o(1)\]Ainsi, \(\lim_{x \to -\infty} (f(x) – (-x-2)) = 0\), donc la droite d’équation \(y = -x-2\) est une asymptote oblique en \(-\infty\).