Formes indéterminées
En analyse mathématique, les formes indéterminées sont des expressions impliquant des limites et dont la valeur ne peut être déterminée directement à partir des limites des termes individuels. Autrement dit, si, en tentant de calculer une limite, on se retrouve face à une forme indéterminée, cela signifie qu’il faut utiliser des techniques supplémentaires, comme la règle de l’Hôpital, des développements limités ou des croissances comparées, pour lever l’indétermination.
Définitions:Les formes indéterminées sont traditionnellement au nombre de sept :
| Forme | Description |
|---|---|
| \(\frac{0}{0}\) | Le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro. |
| \(\frac{\infty}{\infty}\) | Le numérateur et le dénominateur tendent vers l’infini. |
| \(0 \times \infty\) | Un facteur tend vers zéro et l’autre vers l’infini. |
| \(\infty – \infty\) | Soustraction de deux termes tendant vers l’infini. |
| \(0^0\) | La base et l’exposant tendent vers zéro. |
| \(\infty^0\) | La base tend vers l’infini et l’exposant vers zéro. |
| \(1^\infty\) | La base tend vers 1 et l’exposant vers l’infini. |
Il est important de comprendre que ces notations sont symboliques et ne représentent pas des opérations arithmétiques sur les nombres réels. Elles indiquent simplement que les limites des termes impliqués, prises séparément, ne permettent pas de conclure sur la limite de l’expression globale.
Propriétés:- Une forme indéterminée ne signifie pas que la limite n’existe pas, mais simplement qu’elle ne peut pas être déterminée directement.
- La levée d’une indétermination dépend du contexte spécifique de l’expression et nécessite l’application de techniques appropriées.
- Des expressions de la même forme indéterminée peuvent avoir des limites différentes.
Exemples sur les formes indéterminées
Exercice 1 :
Calculer la limite suivante : \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2}\]
Solution :
Lorsque \(x\) tend vers \(0\), le numérateur et le dénominateur tendent vers \(0\). On est en présence d’une forme indéterminée du type \(\frac{0}{0}\). On peut appliquer la règle de l’Hôpital :
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{2x}\]On a encore une forme indéterminée \(\frac{0}{0}\). On applique de nouveau la règle de l’Hôpital :
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}\]Donc :
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \frac{1}{2}\]Exercice 2 :
Calculer la limite suivante : \[\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x\]
Solution :
Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(1 + \frac{1}{x}\) tend vers \(1\) et \(x\) tend vers \(+\infty\). On est en présence d’une forme indéterminée du type \(1^\infty\). Pour lever l’indétermination, on peut utiliser l’astuce suivante : on pose \(y = (1 + \frac{1}{x})^x\) et on considère le logarithme népérien de \(y\) :
\[\ln(y) = x \ln(1 + \frac{1}{x})\]Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), on a une forme indéterminée du type \(0 \times \infty\). On peut la transformer en \(\frac{\infty}{\infty}\) en écrivant :
\[\ln(y) = \frac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}\]On peut alors appliquer la règle de l’Hôpital (en posant \(u = \frac{1}{x}\)) :
\[\lim_{x \to +\infty} \ln(y) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = \lim_{u \to 0} \frac{\frac{1}{1+u}}{1} = 1\]Comme \(\lim_{x \to +\infty} \ln(y) = 1\), on a \(\lim_{x \to +\infty} y = e^1 = e\).
Donc :
\[\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e\]Cette limite définit le nombre \(e\), base du logarithme népérien.