Prolongement par continuité d'une fonction

Prolongement par continuité d’une fonction

Définitions et Théorèmes

Définition : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ sauf éventuellement en un point $a \in I$ . On dit que $f$ admet un prolongement par continuité en $a$ si $lim_{x \to a} f (x)$ existe et est finie.

Si la limite existe, on définit une nouvelle fonction $\tilde{f}$ appelée le prolongement par continuité de $f$ en $a$ par :

$\tilde{f} (x) = {\begin{cases} f (x) & si x \in I, x \neq a \\ lim_{x \to a} f (x) & si x = a \end{cases}$

La fonction $\tilde{f}$ est continue en $a$ , d’où l’appellation « prolongement par continuité ».

Théorème (Unicité) : Si une fonction $f$ admet un prolongement par continuité en $a$ , alors ce prolongement est unique.

Théorème (Conditions nécessaires) : Pour que $f$ admette un prolongement par continuité en $a$ , il faut que la limite de $f$ en $a$ existe.

Important : Le prolongement par continuité est une méthode pour rendre une fonction continue en un point où elle n’est pas initialement définie ou est discontinue.

Exemples sur le Prolongement par continuité d’une fonction

Exercice 1 (Difficile) :

Considérons la fonction $f$ définie par :

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ pour $x \neq 3$ .

Peut-on prolonger $f$ par continuité en $x = 3$ ? Si oui, définir ce prolongement.

Solution détaillée :

La fonction $f$ n’est pas définie en $x = 3$ . Pour déterminer si on peut la prolonger par continuité en $x = 3$ , nous devons calculer la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers 3.

Pour $x \neq 3$ , nous avons :

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

Pour $x \neq 3$ , on peut simplifier par $x - 3$ :

$f (x) = x + 3$

Calculons la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $3$ :

$lim_{x \to 3} f (x) = lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$

Puisque la limite existe et est finie, $f$ admet un prolongement par continuité en $x = 3$ . Le prolongement par continuité $\tilde{f}$ est donc défini par :

$\tilde{f} (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} & si x \neq 3 \\ 6 & si x = 3 \end{cases}$

Et on peut encore écrire que :

$\tilde{f} (x) = x + 3 \forall x \in R$

Exercice 2 (Difficile) :

Soit la fonction $g$ définie par :

$g (x) = \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$ pour $x \neq 0$

Peut-on prolonger $g$ par continuité en $x = 0$ ? Si oui, définir ce prolongement.

Solution détaillée :

La fonction $g$ n’est pas définie en $x = 0$ . Pour déterminer si on peut la prolonger par continuité en $x = 0$ , nous devons calculer la limite de $g (x)$ quand $x$ tend vers 0.

Calculons cette limite :

$lim_{x \to 0} g (x) = lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Nous utilisons l’équivalence suivante $1 - \cos (x) \sim \frac{x^{2}}{2}$ lorsque $x \to 0$ :

$lim_{x \to 0} g (x) = lim_{x \to 0} \frac{x^{2} / 2}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Puisque la limite existe et est finie, $g$ admet un prolongement par continuité en $x = 0$ . Le prolongement par continuité $\tilde{g}$ est défini par :

$\tilde{g} (x) = {\begin{cases} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} & si x \neq 0 \\ \frac{1}{2} & si x = 0 \end{cases}$

Tableau résumé des concepts essentiels :

Concept	Description
Définition	Existence de la limite en un point où la fonction n’est pas définie.
Condition Nécessaire	La limite doit exister (et être finie) pour un prolongement par continuité.
Prolongement	Redéfinir la fonction en le point problématique en lui donnant la valeur de la limite.
Unicité	Le prolongement par continuité est unique s’il existe.