Le Système de coordonnées cartésiennes est l’un des outils mathématiques les plus fondamentaux pour décrire la position des points dans l’espace. Utilisé en physique et en mathématiques, ce système repose sur des axes perpendiculaires qui permettent de définir des coordonnées précises pour chaque point.
Système de coordonnées cartésiennes
Le Système de coordonnées cartésiennes est défini par trois axes orthogonaux : \( x \), \( y \), et \( z \), qui se croisent en un point appelé origine \( O \). Chaque point dans l’espace est identifié par un triplet de coordonnées \((x, y, z)\). Ces coordonnées indiquent les distances entre le point et les plans formés par les axes :
- \( x \) est la distance entre le point et le plan \( (y, z) \),
- \( y \) est la distance entre le point et le plan \( (x, z) \),
- \( z \) est la distance entre le point et le plan \( (x, y) \).
Les relations entre ces axes permettent de résoudre de nombreux problèmes en physique, comme la description des mouvements, des forces ou des champs. Par exemple, en mécanique, les équations d’un mouvement rectiligne uniforme dans un système cartésien sont données par :
\[ x(t) = x_0 + v_x t, \quad y(t) = y_0 + v_y t, \quad z(t) = z_0 + v_z t \]
Exemples sur Système de coordonnées cartésiennes
Les exemples suivants présentent des applications pratiques du Système de coordonnées cartésiennes. Ces exercices sont typiques des problématiques rencontrées dans les contrôles ou examens universitaires.
Exemple 1 : Distance entre deux points
Considérons deux points \( A(x_1, y_1, z_1) \) et \( B(x_2, y_2, z_2) \). La distance entre ces deux points dans un Système de coordonnées cartésiennes est donnée par la formule :
\[ d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2} \]
Par exemple, si \( A(1, 2, 3) \) et \( B(4, 6, 8) \), alors la distance est calculée comme suit :
\[ d = \sqrt{(4 – 1)^2 + (6 – 2)^2 + (8 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \]
Ce calcul est utile dans de nombreux contextes, comme en géométrie analytique ou en physique, pour mesurer des distances dans l’espace.
Exemple 2 : Équation d’une sphère
Une sphère dans un Système de coordonnées cartésiennes est définie par tous les points équidistants d’un centre \( C(x_c, y_c, z_c) \). Si le rayon de la sphère est \( R \), son équation est donnée par :
\[ (x – x_c)^2 + (y – y_c)^2 + (z – z_c)^2 = R^2 \]
Par exemple, une sphère de centre \( C(0, 0, 0) \) et de rayon \( R = 3 \) aura pour équation :
\[ x^2 + y^2 + z^2 = 9 \]
Cette équation est très utile en physique pour modéliser des objets symétriques ou des champs autour de sources ponctuelles, comme les champs gravitationnels ou électriques.