Continuité d’une fonction sur un intervalle

Continuité sur un intervalle

Définitions et Propriétés

Définition : Une fonction f:I→R est dite continue sur un intervalle I si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Autrement dit, pour tout a∈I, on a :

limx→af(x)=f(a)

Propriétés (Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle) :

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Alors :

  • La somme f+g est continue sur I.
  • La différence f–g est continue sur I.
  • Le produit f⋅g est continue sur I.
  • Le produit par un scalaire k⋅f (où k est une constante) est continue sur I.
  • Si g(x)≠0 pour tout x∈I, alors le quotient fg est continue sur I.
  • La composition de deux fonctions continues est continue : si f est continue sur I et g est continue sur J avec f(I)⊂J, alors g∘f est continue sur I.

Propriété (Fonctions usuelles) :

Les fonctions suivantes sont continues sur leurs domaines de définition :

  • Les fonctions polynômiales (par exemple x↦x2+3x–1).
  • Les fonctions rationnelles (quotients de polynômes) sur leurs domaines de définition.
  • Les fonctions trigonométriques sin⁡(x), cos⁡(x).
  • La fonction exponentielle x↦ex.
  • La fonction logarithme x↦ln⁡(x) sur ]0,∞[
  • La fonction racine carrée x↦x sur [0, ∞[.

Exemples sur la Continuité sur un intervalle

Exercice 1 (Difficile) :

Étudier la continuité sur R de la fonction f définie par :

f(x)={x2+1si x≤12xsi x>1

Solution détaillée :

La fonction f est définie par morceaux. Pour étudier la continuité sur R, nous devons examiner la continuité sur chaque intervalle et au point de jonction x=1.

Sur l’intervalle ]−∞,1[, f(x)=x2+1 qui est une fonction polynomiale donc continue.

Sur l’intervalle ]1,+∞[, f(x)=2x qui est une fonction polynomiale donc continue.

Il reste à étudier la continuité en x=1. Pour cela, nous devons calculer les limites à gauche et à droite en x=1, ainsi que la valeur de la fonction en ce point.

Limite à gauche :

limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=12+1=2

Limite à droite :

limx→1+f(x)=limx→1+(2x)=2⋅1=2

La valeur de f(1) est f(1)=12+1=2.

Puisque limx→1−f(x)=limx→1+f(x)=f(1)=2, la fonction f est continue en x=1.

Par conséquent, f est continue sur R.

Exercice 2 (Difficile) :

Étudier la continuité sur son domaine de définition de la fonction g définie par :

g(x)=x+1–1x

Solution détaillée :

Le domaine de définition de g est Dg=[−1,∞[∖{0} car il faut que x+1≥0 et x≠0.

Pour x≠0, g(x) est une fonction composée de fonctions continues (racine, addition, division). Cependant, g n’est pas définie en x=0 il faut donc vérifier si g admet un prolongement par continuité en 0.

Calculons la limite lorsque x tend vers 0 :

limx→0g(x)=limx→0x+1–1x

Pour lever l’indétermination, nous multiplions par l’expression conjuguée x+1+1:

limx→0x+1–1x⋅x+1+1x+1+1=limx→0(x+1)–1x(x+1+1)=limx→0xx(x+1+1)

On simplifie par x:

limx→01x+1+1=10+1+1=12

Puisque la limite en 0 existe, la fonction est prolongeable par continuité en 0. Donc, la fonction g est continue sur Dg=[−1,∞[∖{0} et son prolongement est continue sur [−1,+∞[.

Tableau résumé des propriétés essentielles :

Concept Description
Définition Continuité en chaque point de l’intervalle.
Opérations sur fonctions continues Somme, différence, produit, quotient (si défini), et composition de fonctions continues sont continues sur l’intervalle.
Fonctions usuelles continues Polynômes, fonctions rationnelles, trigonométriques, exponentielles, logarithmes sur leurs domaines.
Continuité en un point de jonction Nécessite l’égalité des limites à gauche et à droite et de la valeur de la fonction en ce point.