Nombres rationnels et irrationnels, Nombres entiers et décimaux
Définitions
- Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \(\frac{p}{q}\) où \(p\) et \(q\) sont des entiers et \(q \neq 0\).
- Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s’écrire sous forme d’une fraction \(\frac{p}{q}\).
- Un nombre entier est un élément de l’ensemble \(\mathbb{Z} = \{…,-2,-1,0,1,2,…\}\).
- Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Théorèmes
- Tout nombre rationnel est soit un nombre décimal, soit un nombre à développement décimal périodique.
- Si un nombre est irrationnel, alors son développement décimal est illimité et non périodique.
| Type de nombre | Exemple | Propriété |
|---|---|---|
| Rationnel | \(\frac{1}{2} = 0,5\) | Décimal fini |
| Rationnel périodique | \(\frac{1}{3} = 0,333…\) | Décimal infini périodique |
| Irrationnel | \(\sqrt{2} \approx 1,4142…\) | Décimal infini non périodique |
Exemples sur les Nombres rationnels et irrationnels, Nombres entiers et décimaux
Exemple 1:
Montrer que \(\sqrt{2}\) est irrationnel. Solution:Démonstration par l’absurde:
- Supposons que \(\sqrt{2}\) est rationnel
- Alors \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) premiers entre eux
- Donc \(2 = \frac{p^2}{q^2}\) ⟹ \(2q^2 = p^2\)
- \(p^2\) est pair ⟹ \(p\) est pair ⟹ \(p = 2k\)
- Donc \(2q^2 = 4k^2\) ⟹ \(q^2 = 2k^2\)
- \(q\) est pair, contradiction avec \(p\) et \(q\) premiers entre eux
Exemple 2:
Démontrer que \(\frac{22}{7}\) est un nombre rationnel mais pas décimal. Solution:- \(\frac{22}{7} = 3,142857142857…\)
- C’est un développement décimal périodique de période 6
- La période est : 142857
- Comme le développement est périodique infini, ce n’est pas un nombre décimal
- Mais c’est bien un nombre rationnel car il s’écrit sous forme \(\frac{p}{q}\)