Le Système de coordonnées sphériques est une représentation mathématique utilisée en physique et en mathématiques pour décrire la position d’un point dans l’espace en fonction de sa distance à un point d’origine et de deux angles. Ce système est particulièrement adapté aux problèmes présentant une symétrie sphérique, comme les champs gravitationnels ou électriques.
Système de coordonnées sphériques
Dans le Système de coordonnées sphériques, un point dans l’espace est défini par trois paramètres :
- \( r \) : La distance radiale entre le point et l’origine.
- \( \theta \) : L’angle polaire mesuré depuis l’axe \( z \) (colatitude).
- \( \phi \) : L’angle azimutal mesuré depuis l’axe \( x \) dans le plan \( xy \).
Les relations entre les coordonnées sphériques \((r, \theta, \phi)\) et les coordonnées cartésiennes \((x, y, z)\) sont données par les formules suivantes :
\[ x = r \sin\theta \cos\phi, \quad y = r \sin\theta \sin\phi, \quad z = r \cos\theta \]
Ces transformations permettent de passer d’un système à l’autre en fonction des besoins du problème physique. Ce système est fréquemment utilisé dans les domaines liés à la mécanique des fluides, à l’électromagnétisme et à la mécanique céleste.
Exemples sur Système de coordonnées sphériques
Les exemples suivants illustrent des applications typiques du Système de coordonnées sphériques. Ces exercices sont conçus pour aider les étudiants à mieux comprendre ses implications dans des contextes pratiques.
Exemple 1 : Équation d’une sphère
Une sphère centrée à l’origine dans un Système de coordonnées sphériques est définie simplement par une distance constante \( r \). L’équation de la sphère est donnée par :
\[ r = R \]
Par exemple, une sphère de rayon \( R = 5 \) est décrite par \( r = 5 \), indépendamment des angles \( \theta \) et \( \phi \). Cela montre l’avantage des coordonnées sphériques pour des objets présentant une symétrie sphérique.
Exemple 2 : Volume d’une sphère
Le calcul du volume d’une sphère est grandement simplifié dans un Système de coordonnées sphériques. Le volume est obtenu en intégrant l’élément de volume :
\[ dV = r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]
Pour une sphère de rayon \( R \), l’intégrale est donnée par :
\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]
En effectuant les intégrations successives, on obtient :
\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Ce résultat classique est directement lié à la symétrie sphérique du problème.