Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée la raison de la suite.
Définition
Soit \( (u_n) \) une suite arithmétique de raison \( r \). Alors, pour tout entier naturel \( n \), le terme \( u_{n+1} \) est défini par :
\[ u_{n+1} = u_n + r \]
Propriétés
- Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme \( u_0 \) et de raison \( r \) est donné par :
- La somme des \( n \) premiers termes d’une suite arithmétique est :
\[ u_n = u_0 + nr \]
\[ S_n = \frac{n}{2} (2u_0 + (n-1)r) \]
Exemples sur les suites arithmétiques
Exemple 1 :
Considérons la suite arithmétique de premier terme \( u_0 = 2 \) et de raison \( r = 3 \).
- Calculons les cinq premiers termes :
- Les cinq premiers termes sont donc : 2, 5, 8, 11, 14.
\[ \begin{align*} u_0 &= 2, \\ u_1 &= u_0 + r = 2 + 3 = 5, \\ u_2 &= u_1 + r = 5 + 3 = 8, \\ u_3 &= u_2 + r = 8 + 3 = 11, \\ u_4 &= u_3 + r = 11 + 3 = 14. \end{align*} \]
Exemple 2 :
Calculons la somme des dix premiers termes de la suite arithmétique de premier terme \( u_0 = 1 \) et de raison \( r = 2 \).
- Utilisons la formule de la somme des \( n \) premiers termes :
- La somme des dix premiers termes est donc 100.
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 1 + (10-1) \cdot 2) = 5 \cdot (2 + 18) = 5 \cdot 20 = 100 \]
Tableau récapitulatif
| Terme | Valeur |
|---|---|
| u_0 | 1 |
| u_1 | 3 |
| u_2 | 5 |
| u_3 | 7 |
| u_4 | 9 |
| Somme des 5 premiers termes | 25 |