Suites récurrentes : Définitions et exemples

Suites récurrentes

Une suite récurrente est une suite dont chaque terme est défini à partir des termes précédents. Cette définition peut être exprimée par une relation de récurrence.

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite récurrente définie par une relation de récurrence de la forme :

$u_{n + 1} = f (u_{n}, u_{n - 1}, \dots, u_{n - k})$

où $f$ est une fonction et $k$ est un entier positif. Les premiers termes $u_{0}, u_{1}, \dots, u_{k}$ sont donnés et appelés les conditions initiales.

Propriétés

Les suites récurrentes peuvent être linéaires ou non linéaires.
Une suite récurrente linéaire d’ordre 1 a la forme :

$u_{n + 1} = a u_{n} + b$

Les suites récurrentes linéaires d’ordre supérieur peuvent être résolues en utilisant des méthodes telles que les polynômes caractéristiques.

Exemples sur les suites récurrentes

Exemple 1 :

Considérons la suite récurrente définie par :

$u_{n + 1} = 2 u_{n} + 1$

avec la condition initiale $u_{0} = 0$ .

Calculons les quatre premiers termes :

$\begin{aligned} u_{0} & = 0, \\ u_{1} & = 2 u_{0} + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1, \\ u_{2} & = 2 u_{1} + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3, \\ u_{3} & = 2 u_{2} + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7. \end{aligned}$

Les quatre premiers termes sont donc : 0, 1, 3, 7.

Exemple 2 :

Considérons la suite récurrente définie par :

$u_{n + 1} = u_{n} + u_{n - 1}$

avec les conditions initiales $u_{0} = 1$ et $u_{1} = 1$ .

Calculons les cinq premiers termes :

$\begin{aligned} u_{0} & = 1, \\ u_{1} & = 1, \\ u_{2} & = u_{1} + u_{0} = 1 + 1 = 2, \\ u_{3} & = u_{2} + u_{1} = 2 + 1 = 3, \\ u_{4} & = u_{3} + u_{2} = 3 + 2 = 5. \end{aligned}$

Les cinq premiers termes sont donc : 1, 1, 2, 3, 5.

Tableau récapitulatif

Terme	Valeur (Exemple 1)	Valeur (Exemple 2)
u_0	0	1
u_1	1	1
u_2	3	2
u_3	7	3
u_4	–	5