Enoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass
Le théorème de Bolzano-Weierstrass est un résultat fondamental en analyse réelle. L’énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass est le suivant :
Toute suite bornée de nombres réels admet une sous-suite convergente.
Plus formellement, si \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite de nombres réels telle qu’il existe deux réels \(A\) et \(B\) vérifiant \(A \le u_n \le B\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), alors il existe une sous-suite \((u_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}\) qui converge vers une limite \(l \in [A, B]\), où \(\phi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) est une fonction strictement croissante.
Démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite bornée de nombres réels. Par hypothèse, il existe deux réels \(A\) et \(B\) tels que \(A \le u_n \le B\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Considérons l’ensemble \(E = \{x \in \mathbb{R} \mid \text{il existe une infinité de } n \text{ tels que } u_n \ge x\}\). Cet ensemble est non vide car \(A \in E\) et il est majoré par \(B\).
Par conséquent, \(E\) admet une borne supérieure que nous noterons \(l\). Nous allons montrer que \(l\) est la limite d’une sous-suite de \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).
Par définition de la borne supérieure, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe \(x \in E\) tel que \(l – \epsilon < x \le l\). Comme \(x \in E\), il existe une infinité de \(n\) tels que \(u_n \ge x\). En particulier, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe \(m > n\) tel que \(u_m > l – \frac{1}{n+1}\).
Construisons la sous-suite \((u_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}\) par récurrence. Posons \(\phi(0) = 0\). Supposons avoir construit \(\phi(n)\). Alors, il existe \(\phi(n+1) > \phi(n)\) tel que \(u_{\phi(n+1)} > l – \frac{1}{n+2}\).
De plus, comme \(l\) est la borne supérieure de \(E\), pour tout \(\epsilon > 0\), il existe au plus un nombre fini de \(n\) tels que \(u_n \ge l + \epsilon\). Donc, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe au plus un nombre fini de \(k\) tels que \(u_k \ge l + \frac{1}{n+1}\). Donc il existe \(N\) tel que pour \(k \ge N\), on ait \(u_k < l+\frac{1}{n+1}\). On peut donc prendre \(\phi(n+1)\) tel que \(u_{\phi(n+1)}< l+\frac{1}{n+1}\).
En résumé, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(l – \frac{1}{n+1} < u_{\phi(n)} < l + \frac{1}{n+1}\). Par le théorème des gendarmes, la sous-suite \((u_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers \(l\).
Ceci achève la démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass.