Critère de Cauchy

Le critère de Cauchy est un outil fondamental en analyse réelle et complexe, utilisé pour déterminer la convergence des séries de nombres réels ou complexes.

Définitions

Une série \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) est dite convergente selon le critère de Cauchy si pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tous entiers \(m, n > N\), on a \(|a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n| < \epsilon\).
Une série \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) est dite divergente si elle ne satisfait pas le critère de Cauchy.

Théorèmes

Théorème 1 : Si une série \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) est convergente selon le critère de Cauchy, alors la suite des termes \(a_n\) tend vers 0.
Théorème 2 : Si la suite des termes \(a_n\) ne tend pas vers 0, alors la série \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) est divergente.

Exemples sur le critère de Cauchy

Exemple 1 : Considérons la série harmonique \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\). Pour montrer qu’elle est divergente selon le critère de Cauchy, on peut examiner les sommes partielles \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n}\). En choisissant \(m = 2n\), on obtient \(S_{2n} – S_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}\). Comme cette somme est asymptotiquement équivalente à \(\frac{1}{2}\ln(2)\), elle ne tend pas vers 0, donc la série est divergente.

Exemple 2 : Pour la série géométrique \(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n\) avec \(|r| < 1\), on peut vérifier la convergence par le critère de Cauchy. Pour tout \(\epsilon > 0\), en choisissant \(N\) tel que \(|r|^N < \frac{\epsilon}{|a|}\), on a pour \(m, n > N\), \(|ar^m + ar^{m+1} + \cdots + ar^n| \leq |a| \frac{|r|^m}{1-|r|} < \epsilon\). Ainsi, la série est convergente.