Convergence et divergence des suites

Convergence et divergence des suites

La convergence et la divergence des suites sont des concepts fondamentaux en analyse mathématique. Ils permettent de déterminer le comportement asymptotique des suites de nombres réels ou complexes.

Définitions

  • Une suite \((u_n)\) est dite convergente vers un réel \(l\) si pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), \(|u_n – l| < \epsilon\). On note \(\lim_{n \to \infty} u_n = l\).
  • Une suite \((u_n)\) est dite divergente si elle n’est pas convergente.

Théorèmes

  • Théorème 1 : Une suite \((u_n)\) est convergente si et seulement si elle est de Cauchy, c’est-à-dire que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tous entiers \(m, n \geq N\), \(|u_m – u_n| < \epsilon\).
  • Théorème 2 : Si une suite \((u_n)\) est bornée et croissante, alors elle est convergente.

Propriétés

  • Propriété 1 : Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont deux suites convergentes vers \(l\) et \(m\) respectivement, alors \((u_n + v_n)\) converge vers \(l + m\).
  • Propriété 2 : Si \((u_n)\) converge vers \(l\) et \(k\) est un réel, alors \((ku_n)\) converge vers \(kl\).

Exemples sur la convergence et la divergence des suites

Exemple 1 : Considérons la suite \((u_n) = \frac{1}{n}\).

  • Problème : Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.
  • Solution :
    1. Pour tout \(\epsilon > 0\), choisissons \(N > \frac{1}{\epsilon}\).
    2. Alors pour tout \(n \geq N\), on a \(|u_n – 0| = \frac{1}{n} < \epsilon\).
    3. Donc \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\).
  • Conclusion : La suite \((u_n)\) converge vers 0.

Exemple 2 : Considérons la suite \((v_n) = (-1)^n\).

  • Problème : Montrer que la suite \((v_n)\) est divergente.
  • Solution :
    1. La suite \((v_n)\) oscille entre -1 et 1.
    2. Pour tout \(l \in \mathbb{R}\), il existe une sous-suite de \((v_n)\) qui ne converge pas vers \(l\).
    3. Par exemple, la sous-suite des termes pairs \((v_{2n}) = 1\) et la sous-suite des termes impairs \((v_{2n+1}) = -1\) convergent vers des limites différentes.
  • Conclusion : La suite \((v_n)\) est divergente.

Exemple 3 : Considérons la suite \((w_n) = n\).

  • Problème : Montrer que la suite \((w_n)\) est divergente.
  • Solution :
    1. La suite \((w_n)\) tend vers l’infini.
    2. Pour tout \(M > 0\), il existe \(N = M\) tel que pour tout \(n \geq N\), \(w_n > M\).
    3. Donc, la suite \((w_n)\) ne peut pas converger vers un réel.
  • Conclusion : La suite \((w_n)\) diverge vers \(+\infty\).

Exemple 4 : Considérons la suite \((z_n) = \frac{n}{n+1}\).

  • Problème : Montrer que la suite \((z_n)\) est convergente.
  • Solution :
    1. Pour tout \(\epsilon > 0\), choisissons \(N > \frac{1}{\epsilon}\).
    2. Alors pour tout \(n \geq N\), on a \(|z_n – 1| = \left|\frac{n}{n+1} – 1\right| = \frac{1}{n+1} < \epsilon\).
    3. Donc \(\lim_{n \to \infty} z_n = 1\).
  • Conclusion : La suite \((z_n)\) converge vers 1.

Exemple 5 : Considérons la suite \((a_n) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\).

  • Problème : Montrer que la suite \((a_n)\) est convergente.
  • Solution :
    1. En utilisant le développement limité de \(e^x\) en 0, on sait que \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\) lorsque \(n \to \infty\).
    2. Donc, la suite \((a_n)\) converge vers \(e\).
  • Conclusion : La limite de la suite \((a_n)\) est \(e\), le nombre d’Euler.