Limite supérieure et inférieure d’une suite

Limite supérieure et inférieure d’une suite

La limite supérieure et la limite inférieure d’une suite sont des concepts fondamentaux en analyse mathématique qui permettent de décrire le comportement asymptotique des suites de nombres réels ou complexes.

Définitions

  • Soit \((u_n)\) une suite de nombres réels. La limite supérieure de \((u_n)\), notée \(\limsup_{n \to \infty} u_n\), est définie comme : \[ \limsup_{n \to \infty} u_n = \inf_{n \geq 1} \left( \sup_{k \geq n} u_k \right) \]
  • De même, la limite inférieure de \((u_n)\), notée \(\liminf_{n \to \infty} u_n\), est définie comme : \[ \liminf_{n \to \infty} u_n = \sup_{n \geq 1} \left( \inf_{k \geq n} u_k \right) \]

Propriétés

  • Propriété 1 : Pour toute suite \((u_n)\), on a : \[ \liminf_{n \to \infty} u_n \leq \limsup_{n \to \infty} u_n \]
  • Propriété 2 : Si \((u_n)\) converge vers \(l\), alors : \[ \liminf_{n \to \infty} u_n = \limsup_{n \to \infty} u_n = l \]

Exemples sur la limite supérieure et inférieure d’une suite

Exemple 1 : Considérons la suite \((u_n) = (-1)^n + \frac{1}{n}\).

  • Calculons \(\limsup_{n \to \infty} u_n\) :
    1. Pour les termes pairs \(u_{2n} = 1 + \frac{1}{2n}\), on a \(\lim_{n \to \infty} u_{2n} = 1\).
    2. Pour les termes impairs \(u_{2n+1} = -1 + \frac{1}{2n+1}\), on a \(\lim_{n \to \infty} u_{2n+1} = -1\).
    3. Ainsi, \(\limsup_{n \to \infty} u_n = 1\) et \(\liminf_{n \to \infty} u_n = -1\).
  • Conclusion : La suite \((u_n)\) est divergente.

Exemple 2 : Considérons la suite \((v_n) = \frac{1}{n^2}\).

  • Calculons \(\limsup_{n \to \infty} v_n\) :
    1. Comme \(v_n\) est une suite décroissante et positive, \(\lim_{n \to \infty} v_n = 0\).
    2. Ainsi, \(\limsup_{n \to \infty} v_n = \liminf_{n \to \infty} v_n = 0\).
  • Conclusion : La suite \((v_n)\) est convergente.

Exemple 3 : Considérons la suite \((w_n) = \sin(n)\).

  • Calculons \(\limsup_{n \to \infty} w_n\) :
    1. La suite \((w_n)\) est bornée entre -1 et 1.
    2. Ainsi, \(\limsup_{n \to \infty} w_n = 1\) et \(\liminf_{n \to \infty} w_n = -1\).
  • Conclusion : La suite \((w_n)\) est divergente.

Exemple 4 : Considérons la suite \((z_n) = \frac{n}{n+1}\).

  • Calculons \(\limsup_{n \to \infty} z_n\) :
    1. Comme \(z_n\) tend vers 1, \(\lim_{n \to \infty} z_n = 1\).
    2. Ainsi, \(\limsup_{n \to \infty} z_n = \liminf_{n \to \infty} z_n = 1\).
  • Conclusion : La suite \((z_n)\) est convergente.

Exemple 5 : Considérons la suite \((a_n) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\).

  • Calculons \(\limsup_{n \to \infty} a_n\) :
    1. En utilisant le développement limité de \(e^x\) en 0, on sait que \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\) lorsque \(n \to \infty\).
    2. Athus, \(\limsup_{n \to \infty} a_n = \liminf_{n \to \infty} a_n = e\).
  • Conclusion : La suite \((a_n)\) est convergente.