Identités trigonométriques

Les identités trigonométriques sont des égalités mathématiques qui relient les fonctions trigonométriques entre elles. Elles sont essentielles pour simplifier des expressions, résoudre des équations et démontrer des théorèmes en trigonométrie.

Définitions :

• \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) (Identité pythagoricienne)
• \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) et \(\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}\)

Propriétés :

• Formules d’addition : \(\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b\)
• Formules de duplication : \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\) et \(\cos(2\theta) = \cos^2\theta – \sin^2\theta\)
• Formules de réduction de puissance : \(\sin^2\theta = \frac{1 – \cos(2\theta)}{2}\) et \(\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\)

Exemple 1 : Simplifier l’expression \(\sin^4\theta – \cos^4\theta\).
Solution : On utilise l’identité de différence de carrés :
\(\sin^4\theta – \cos^4\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)(\sin^2\theta – \cos^2\theta)\).
En appliquant l’identité pythagoricienne (\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)) :
\(\sin^4\theta – \cos^4\theta = \sin^2\theta – \cos^2\theta\).
Ensuite, on utilise la formule de duplication pour \(\cos(2\theta)\) :
\(\sin^2\theta – \cos^2\theta = -\cos(2\theta)\).

Exemple 2 : Démontrer que \(\frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\cos\theta}{1 – \sin\theta}\).
Solution : On multiplie le numérateur et le dénominateur de la gauche par \((1 – \sin\theta)\) :
\(\frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{1 – \sin\theta}{1 – \sin\theta} = \frac{(1 + \sin\theta)(1 – \sin\theta)}{\cos\theta(1 – \sin\theta)}\).
Simplifions le numérateur :
\((1 + \sin\theta)(1 – \sin\theta) = 1 – \sin^2\theta = \cos^2\theta\).
Ainsi, l’expression devient :
\(\frac{\cos^2\theta}{\cos\theta(1 – \sin\theta)} = \frac{\cos\theta}{1 – \sin\theta}\).