Fonctions circulaires inverses (arcsin, arccos, arctan)
La fonction arcsinus est définie sur [-1,1] et prend ses valeurs dans [-π/2,π/2]. Pour tout x ∈ [-1,1] :
\[ \arcsin(x) = y \Leftrightarrow \sin(y) = x \text{ et } y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \]La fonction arccosinus est définie sur [-1,1] et prend ses valeurs dans [0,π]. Pour tout x ∈ [-1,1] :
\[ \arccos(x) = y \Leftrightarrow \cos(y) = x \text{ et } y \in [0,\pi] \]La fonction arctangente est définie sur ℝ et prend ses valeurs dans ]-π/2,π/2[. Pour tout x ∈ ℝ :
\[ \arctan(x) = y \Leftrightarrow \tan(y) = x \text{ et } y \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ \]Propriétés fondamentales :
\[ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) \] \[ \arccos(-x) = \pi – \arccos(x) \] \[ \arctan(-x) = -\arctan(x) \]Exemples sur les fonctions circulaires inverses
Exemple 1 : Calculer \(\arcsin(\frac{1}{2})\)
Solution :
\[ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} \text{ car } \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \]Exemple 2 : Résoudre l’équation \(\arccos(x) = \frac{\pi}{3}\)
Solution :
\[ \arccos(x) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \]Exemple 3 : Calculer \(\arctan(1)\)
Solution :
\[ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \text{ car } \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \]