Systèmes linéaires (critère de Routh-Hurwitz)


Définitions et théorèmes

Le critère de Routh-Hurwitz est une méthode pour déterminer la stabilité des systèmes linéaires en fonction des coefficients du polynôme caractéristique.

Définitions

Un système linéaire est stable si toutes les racines du polynôme caractéristique ont une partie réelle négative.

Théorèmes

Critère de Routh-Hurwitz : Un système linéaire est stable si et seulement si tous les éléments de la première colonne du tableau de Routh-Hurwitz sont positifs.


Exemples sur le critère de Routh-Hurwitz


Exemple 1 : Déterminer la stabilité du système linéaire avec le polynôme caractéristique \( p(s) = s^3 + 2s^2 + 3s + 4 \).

Le tableau de Routh-Hurwitz est :

\[ \begin{array}{c|ccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ & 1 & 3 & 4 \\ & & 2 & 4 \\ & & & 4 \\ \end{array} \]

Tous les éléments de la première colonne sont positifs, donc le système est stable.


Exemple 2 : Déterminer la stabilité du système linéaire avec le polynôme caractéristique \( p(s) = s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5 \).

Le tableau de Routh-Hurwitz est :

\[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ & 1 & 3 & 4 & 5 \\ & & 2 & 4 & 5 \\ & & & 3 & 5 \\ & & & & 5 \\ \end{array} \]

Tous les éléments de la première colonne sont positifs, donc le système est stable.


Exemple 3 : Déterminer la stabilité du système linéaire avec le polynôme caractéristique \( p(s) = s^3 + s^2 + s + 1 \).

Le tableau de Routh-Hurwitz est :

\[ \begin{array}{c|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ & 1 & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ & & & 1 \\ \end{array} \]

Tous les éléments de la première colonne sont positifs, donc le système est stable.