Résolution de systèmes trigonométriques linéaires
Définitions et théoremes
La résolution de systèmes trigonométriques linéaires est une technique qui permet de trouver les solutions des systèmes d’équations où les inconnues sont des fonctions trigonométriques.
Définitions
Un système trigonométrique linéaire est un système d’équations où les inconnues sont des fonctions trigonométriques comme le sinus et le cosinus. Par exemple :
\[ a_1 \sin(x) + b_1 \cos(x) = c_1 \]
\[ a_2 \sin(x) + b_2 \cos(x) = c_2 \]
Théoremes
Théorème de résolution : Un système trigonométrique linéaire peut être résolu en utilisant des transformations trigonométriques pour réduire les équations à des équations linéaires simples.
Théorème de superposition : Si \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) sont des solutions du système trigonométrique linéaire, alors toute combinaison linéaire \( c_1 \mathbf{u} + c_2 \mathbf{v} \) est également une solution.
Exemples sur la résolution de systèmes trigonométriques linéaires
Exemple 1 : Résoudre le système trigonométrique linéaire :
\[ \sin(x) + 2\cos(x) = 1 \]
\[ 3\sin(x) – 4\cos(x) = 2 \]
Pour résoudre ce système, nous utilisons les transformations trigonométriques :
\[ \sin(x) = \frac{1 – 2\cos(x)}{1} \]
\[ 3\left(\frac{1 – 2\cos(x)}{1}\right) – 4\cos(x) = 2 \]
\[ 3 – 6\cos(x) – 4\cos(x) = 2 \]
\[ -10\cos(x) = -1 \]
\[ \cos(x) = \frac{1}{10} \]
En substituant \( \cos(x) \) dans la première équation :
\[ \sin(x) + 2\left(\frac{1}{10}\right) = 1 \]
\[ \sin(x) + \frac{1}{5} = 1 \]
\[ \sin(x) = \frac{4}{5} \]
Donc, les solutions sont \( \sin(x) = \frac{4}{5} \) et \( \cos(x) = \frac{1}{10} \).
Exemple 2 : Résoudre le système trigonométrique linéaire :
\[ 2\sin(x) – \cos(x) = 0 \]
\[ \sin(x) + \cos(x) = 1 \]
Pour résoudre ce système, nous utilisons les transformations trigonométriques :
\[ \sin(x) = \cos(x) \]
\[ \cos(x) + \cos(x) = 1 \]
\[ 2\cos(x) = 1 \]
\[ \cos(x) = \frac{1}{2} \]
En substituant \( \cos(x) \) dans la première équation :
\[ 2\left(\frac{1}{2}\right) – \frac{1}{2} = 0 \]
\[ 1 – \frac{1}{2} = 0 \]
\[ \sin(x) = \frac{1}{2} \]
Donc, les solutions sont \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) et \( \cos(x) = \frac{1}{2} \).
Exemple 3 : Résoudre le système trigonométrique linéaire :
\[ \sin(2x) + \cos(2x) = 1 \]
\[ \sin(2x) – \cos(2x) = 0 \]
Pour résoudre ce système, nous utilisons les transformations trigonométriques :
\[ \sin(2x) = \cos(2x) \]
\[ \cos(2x) + \cos(2x) = 1 \]
\[ 2\cos(2x) = 1 \]
\[ \cos(2x) = \frac{1}{2} \]
En substituant \( \cos(2x) \) dans la première équation :
\[ \sin(2x) + \frac{1}{2} = 1 \]
\[ \sin(2x) = \frac{1}{2} \]
Donc, les solutions sont \( \sin(2x) = \frac{1}{2} \) et \( \cos(2x) = \frac{1}{2} \).