Théorème de Rouché-Fontené
Définitions et théorèmes
Le théorème de Rouché-Fontené est un théorème important en analyse complexe qui concerne les zéros des fonctions holomorphes.
Définitions
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions holomorphes dans une région simplement connexe \( D \) du plan complexe. Si \( |f(z)| > |g(z)| \) pour tout \( z \) sur le bord \( \partial D \) de \( D \), alors \( f \) et \( f + g \) ont le même nombre de zéros à l’intérieur de \( D \), comptés avec multiplicité.
Théorèmes
Théorème de Rouché-Fontené : Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions holomorphes dans une région simplement connexe \( D \) du plan complexe. Si \( |f(z)| > |g(z)| \) pour tout \( z \) sur le bord \( \partial D \) de \( D \), alors \( f \) et \( f + g \) ont le même nombre de zéros à l’intérieur de \( D \), comptés avec multiplicité.
Exemples sur le théorème de Rouché-Fontené
Exemple 1 : Montrer que \( f(z) = z^2 + 1 \) et \( g(z) = z \) ont le même nombre de zéros dans le disque \( |z| \leq 1 \).
Considérons les fonctions \( f(z) = z^2 + 1 \) et \( g(z) = z \). Nous voulons montrer que \( f \) et \( f + g \) ont le même nombre de zéros dans le disque \( |z| \leq 1 \).
Sur le bord \( \partial D \) (c’est-à-dire \( |z| = 1 \)), nous avons :
\[ |f(z)| = |z^2 + 1| \geq |z^2| – |1| = 1 – 1 = 0 \]
\[ |g(z)| = |z| = 1 \]
Donc, \( |f(z)| \geq |g(z)| \) pour tout \( z \) sur \( \partial D \). Par le théorème de Rouché-Fontené, \( f \) et \( f + g \) ont le même nombre de zéros à l’intérieur de \( D \).
\[ f(z) = z^2 + 1 \] a deux zéros dans \( D \) (comptés avec multiplicité), et \( f + g = z^2 + z + 1 \) a également deux zéros dans \( D \).
Exemple 2 : Montrer que \( f(z) = e^z \) et \( g(z) = z^3 \) ont le même nombre de zéros dans le disque \( |z| \leq 1 \).
Considérons les fonctions \( f(z) = e^z \) et \( g(z) = z^3 \). Nous voulons montrer que \( f \) et \( f + g \) ont le même nombre de zéros dans le disque \( |z| \leq 1 \).
Sur le bord \( \partial D \) (c’est-à-dire \( |z| = 1 \)), nous avons :
\[ |f(z)| = |e^z| = e^{\Re(z)} \geq e^{-1} > 1 \]
\[ |g(z)| = |z^3| = 1 \]
Donc, \( |f(z)| > |g(z)| \) pour tout \( z \) sur \( \partial D \). Par le théorème de Rouché-Fontené, \( f \) et \( f + g \) ont le même nombre de zéros à l’intérieur de \( D \).
\[ f(z) = e^z \] a zéro zéro dans \( D \), et \( f + g = e^z + z^3 \) a également zéro zéro dans \( D \).
Exemple 3 : Montrer que \( f(z) = \sin(z) \) et \( g(z) = z \) ont le même nombre de zéros dans le disque \( |z| \leq 2\pi \).
Considérons les fonctions \( f(z) = \sin(z) \) et \( g(z) = z \). Nous voulons montrer que \( f \) et \( f + g \) ont le même nombre de zéros dans le disque \( |z| \leq 2\pi \).
Sur le bord \( \partial D \) (c’est-à-dire \( |z| = 2\pi \)), nous avons :
\[ |f(z)| = |\sin(z)| \leq 1 \]
\[ |g(z)| = |z| = 2\pi \]
Donc, \( |f(z)| < |g(z)| \) pour tout \( z \) sur \( \partial D \). Par le théorème de Rouché-Fontené, \( f \) et \( f + g \) ont le même nombre de zéros à l'intérieur de \( D \).
\[ f(z) = \sin(z) \] a \( 2\pi \) zéros dans \( D \) (comptés avec multiplicité), et \( f + g = \sin(z) + z \) a également \( 2\pi \) zéros dans \( D \).