Systèmes homogènes/non homogènes
Définitions et théoremes
Les systèmes homogènes et non homogènes sont des types de systèmes d’équations linéaires qui diffèrent par la présence ou l’absence de la constante términale \( b \).
Définitions
Système homogène : Un système d’équations linéaires \( Ax = 0 \) est homogène si tous les termes constants \( b \) sont nuls.
Système non homogène : Un système d’équations linéaires \( Ax = b \) est non homogène si au moins un des termes constants \( b \) est non nul.
Théoremes
Théorème de la solution unique : Un système homogène \( Ax = 0 \) admet une solution unique, à savoir la solution nulle, si et seulement si la matrice \( A \) est inversible.
Théorème de la solution générale : Un système homogène \( Ax = 0 \) admet une solution générale qui est une combinaison linéaire des solutions de la forme \( x = Cy \), où \( C \) est une matrice et \( y \) est une variable.
Exemples sur les systèmes homogènes/non homogènes
Exemple 1 : Résoudre le système homogène \( Ax = 0 \) où \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \).
Le système homogène est :
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
En appliquant la méthode de Gauss-Jordan :
\[ L_2 \leftarrow L_2 – 3L_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \]
\[ L_2 \leftarrow -\frac{1}{2}L_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ L_1 \leftarrow L_1 – 2L_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
La solution unique est \( x_1 = 0 \) et \( x_2 = 0 \), ce qui est la solution nulle.
Exemple 2 : Résoudre le système non homogène \( Ax = b \) où \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) et \( b = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \).
Le système non homogène est :
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \]
En appliquant la méthode de Gauss-Jordan :
\[ L_2 \leftarrow L_2 – 3L_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 5 \\ 0 & -2 & | & -9 \end{pmatrix} \]
\[ L_2 \leftarrow -\frac{1}{2}L_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 5 \\ 0 & 1 & | & \frac{9}{2} \end{pmatrix} \]
\[ L_1 \leftarrow L_1 – 2L_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & | & \frac{9}{2} \end{pmatrix} \]
La solution est \( x_1 = -\frac{1}{2} \) et \( x_2 = \frac{9}{2} \).
Exemple 3 : Trouver la solution générale du système homogène \( Ax = 0 \) où \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \).
Le système homogène est :
\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
En appliquant la méthode de Gauss-Jordan :
\[ L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ L_3 \leftarrow L_3 + L_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ L_2 \leftarrow \frac{1}{3}L_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ L_1 \leftarrow L_1 + L_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ L_3 \leftarrow L_3 – L_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 0 & \frac{14}{3} \end{pmatrix} \]
\[ L_3 \leftarrow \frac{3}{14}L_3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ L_1 \leftarrow L_1 – \frac{1}{3}L_3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ L_2 \leftarrow L_2 + \frac{5}{3}L_3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
La solution générale est \( x_1 = 0 \), \( x2 = 0 \), et \( x_3 = 0 \), ce qui est la solution nulle. Cependant, pour trouver la solution générale, nous devons trouver les vecteurs propres associés à l’espace nuclidal de \( A \). Les vecteurs propres associés à l’espace nuclidal sont les solutions non triviales du système homogène.
En résolvant le système homogène \( Ax = 0 \), nous obtenons les vecteurs propres :
\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
En appliquant la méthode de Gauss-Jordan :
\[ L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ L_3 \leftarrow L_3 + L_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ L_2 \leftarrow \frac{1}{3}L_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ L_1 \leftarrow L_1 + L_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ L_3 \leftarrow L_3 – L_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 0 & \frac{14}{3} \end{pmatrix} \]
\[ L_3 \leftarrow \frac{3}{14}L_3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ L_1 \leftarrow L_1 – \frac{1}{3}L_3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ L_2 \leftarrow L_2 + \frac{5}{3}L_3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Les vecteurs propres associés à l’espace nuclidal sont les solutions non triviales du système homogène, ce qui donne :
\[ x_1 = -\frac{1}{3}x_3 \]
\[ x_2 = \frac{5}{3}x_3 \]
Donc, la solution générale est :
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_3 \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \]
En posant \( k = x_3 \), nous obtenons la solution générale :
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{R} \]