Ces exercices d’Analyse, destinés aux étudiants en Math sup, explorent les techniques de calcul de primitives impliquant des fonctions exponentielles. Ils couvrent des méthodes clés comme la substitution, l’intégration par parties et la reconnaissance de formes dérivées. Des corrigés détaillés permettent de maîtriser ces outils indispensables pour les problèmes avancés.

  1. Déterminer la primitive de \( f(x) = e^{2x+1} \cdot (2x^3 – 5x + 1) \)
  2. En déduire \( \int x \cdot e^{2x+1} dx \)
  3. Calculer \( \int e^{2x+1} \cdot \cos(x) dx \)
  4. Montrer que la fonction \( F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1}(x^3 – \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}) \) est une primitive de f(x).
  1. Calculer \( \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx \)
  2. Déterminer \( \int e^{x^2} \cdot x dx \)
  3. Soit \( g(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \). Calculer \( \int g(x) dx \)
  4. Démontrer que \( \int e^{ax} \cdot e^{bx} dx = \frac{e^{(a+b)x}}{a+b} + C \) pour \( a+b \neq 0 \)
  1. Résoudre l’équation différentielle \( y’ = e^{-2x} \cdot y^2 \)
  2. Calculer \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx \)
  3. Déterminer la solution générale de \( y’ + 2y = e^{3x} \)
  4. Trouver la primitive de \( f(x) = e^{x^2} \cdot (2x^2 + 3) \) qui s’annule en 0.
  1. Calculer \( \int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x – e^{-x}} dx \)
  2. Déterminer \( \int e^{\sinh(x)} \cdot \cosh(x) dx \)
  3. Soit \( f(x) = e^{\cosh(x)} \). Calculer \( \int f'(x) dx \)
  4. Démontrer que \( \int \frac{e^x}{e^x + 1} dx = \ln(e^x + 1) + C \)
  1. Calculer \( \int \frac{e^x}{(e^x – 1)^2} dx \)
  2. Déterminer \( \int \frac{e^{2x}}{1 + e^x} dx \)
  3. Trouver la primitive de \( f(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^3} \)
  4. Montrer que \( \int \frac{e^x}{(e^x + 1)^2} dx = -\frac{1}{e^x + 1} + C \)
  1. Calculer \( \int e^{x^3} \cdot x^2 dx \)
  2. Déterminer \( \int e^{\tan(x)} \cdot (1 + \tan^2(x)) dx \)
  3. Soit \( f(x) = e^{ax} \cdot \sin(bx) \). Calculer \( \int f(x) dx \)
  4. Démontrer que \( \int e^x \cdot \sin(x) dx = \frac{e^x(\sin(x) – \cos(x))}{2} + C \)