Exercice 1 : Changement de variable simple
Objectif : Maîtriser les changements de variable simples pour calculer des primitives.
- Calculer la primitive de \( \int x \cdot e^{x^2} \, dx \) en utilisant le changement de variable \( u = x^2 \).
- Déterminer \( \int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx \) en posant \( u = 1 + x^2 \).
- Évaluer \( \int \sin(x) \cdot \cos(x) \, dx \) en utilisant \( u = \sin(x) \).
- Calculer \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \) avec \( u = \ln(x) \).
- Expliquer pourquoi le changement de variable \( u = x^3 \) ne simplifie pas \( \int x^2 \cdot e^{x^3} \, dx \).
-
Calcul de la primitive de \( \int x \cdot e^{x^2} \, dx \) :
On utilise le changement de variable \( u = x^2 \). Alors, \( du = 2x \, dx \), ce qui implique \( \frac{1}{2} du = x \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u \, du \]
La primitive de \( e^u \) est \( e^u \). Donc :
\[ \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \]
Conclusion : \( \int x \cdot e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)
-
Détermination de \( \int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx \) :
On pose \( u = 1 + x^2 \). Alors, \( du = 2x \, dx \).
L’intégrale se transforme en :
\[ \int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du \]
La primitive de \( \frac{1}{u} \) est \( \ln|u| \). Donc :
\[ \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln|1 + x^2| + C \]
Conclusion : \( \int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx = \ln|1 + x^2| + C \)
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Évaluation de \( \int \sin(x) \cdot \cos(x) \, dx \) :
On utilise \( u = \sin(x) \). Alors, \( du = \cos(x) \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \sin(x) \cdot \cos(x) \, dx = \int u \, du \]
La primitive de \( u \) est \( \frac{u^2}{2} \). Donc :
\[ \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\sin^2(x)}{2} + C \]
Conclusion : \( \int \sin(x) \cdot \cos(x) \, dx = \frac{\sin^2(x)}{2} + C \)
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Calcul de \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \) :
On pose \( u = \ln(x) \). Alors, \( du = \frac{1}{x} \, dx \).
L’intégrale se transforme en :
\[ \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du \]
La primitive de \( \frac{1}{u} \) est \( \ln|u| \). Donc :
\[ \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln|\ln(x)| + C \]
Conclusion : \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx = \ln|\ln(x)| + C \)
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Explication sur le changement de variable \( u = x^3 \) et l’intégrale \( \int x^2 \cdot e^{x^3} \, dx \) :
Si on pose \( u = x^3 \), alors \( du = 3x^2 \, dx \), ce qui implique \( \frac{1}{3} du = x^2 \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int x^2 \cdot e^{x^3} \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u \, du \]
La primitive de \( e^u \) est \( e^u \). Donc :
\[ \frac{1}{3} \int e^u \, du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{x^3} + C \]
Cette forme est équivalente à la forme initiale, mais elle n’est pas plus simple à calculer directement. Le changement de variable \( u = x^3 \) ne simplifie pas l’intégrale de manière significative car il introduit un facteur multiplicatif \( \frac{1}{3} \) sans changer la nature de l’intégrande, qui reste une exponentielle complexe.
Conclusion : Le changement de variable \( u = x^3 \) ne simplifie pas \( \int x^2 \cdot e^{x^3} \, dx \) de manière utile.
Exercice 2 : Changement de variable trigonométrique
Objectif : Appliquer des changements de variable trigonométriques pour résoudre des intégrales complexes.
- Calculer \( \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx \) en utilisant \( x = \sin(u) \).
- Évaluer \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \) avec \( x = \tan(u) \).
- Déterminer \( \int \sqrt{1 + x^2} \, dx \) en posant \( x = \sinh(u) \).
- Calculer \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx \) en utilisant \( x = \cos(u) \).
- Expliquer pourquoi le changement de variable \( x = \tan(u) \) est utile pour \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \).
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Calcul de \( \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx \) :
On utilise le changement de variable \( x = \sin(u) \). Alors, \( dx = \cos(u) \, du \) et \( \sqrt{1 – x^2} = \sqrt{1 – \sin^2(u)} = \cos(u) \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\cos(u)} \cdot \cos(u) \, du = \int 1 \, du = u + C \]
Comme \( u = \arcsin(x) \), on a :
\[ u + C = \arcsin(x) + C \]
Conclusion : \( \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C \)
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Évaluation de \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \) :
On utilise le changement de variable \( x = \tan(u) \). Alors, \( dx = \sec^2(u) \, du \) et \( 1 + x^2 = 1 + \tan^2(u) = \sec^2(u) \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{1}{\sec^2(u)} \cdot \sec^2(u) \, du = \int 1 \, du = u + C \]
Comme \( u = \arctan(x) \), on a :
\[ u + C = \arctan(x) + C \]
Conclusion : \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C \)
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Détermination de \( \int \sqrt{1 + x^2} \, dx \) :
On pose \( x = \sinh(u) \). Alors, \( dx = \cosh(u) \, du \) et \( \sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + \sinh^2(u)} = \cosh(u) \).
L’intégrale devient :
\[ \int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \int \cosh(u) \cdot \cosh(u) \, du = \int \cosh^2(u) \, du \]
On utilise l’identité \( \cosh^2(u) = \frac{1 + \sinh(2u)}{2} \) :
\[ \int \cosh^2(u) \, du = \int \frac{1 + \sinh(2u)}{2} \, du = \frac{1}{2} \int (1 + \sinh(2u)) \, du \]
\[ = \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{2} \cosh(2u) \right) + C = \frac{1}{2} u + \frac{1}{4} \cosh(2u) + C \]
Comme \( u = \text{arcsinh}(x) \) et \( \cosh(2u) = 1 + 2\sinh^2(u) = 1 + 2x^2 \), on a :
\[ \frac{1}{2} \text{arcsinh}(x) + \frac{1}{4} (1 + 2x^2) + C \]
Conclusion : \( \int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \text{arcsinh}(x) + \frac{1}{4}(1 + 2x^2) + C \) ou encore \( \int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x+\sqrt{1 + x^2}) + \frac{1}{4}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{4}x + C \)
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Calcul de \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx \) :
On utilise le changement de variable \( x = \cos(u) \). Alors, \( dx = -\sin(u) \, du \) et \( \sqrt{1 – x^2} = \sqrt{1 – \cos^2(u)} = \sin(u) \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{x^2}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx = \int \frac{\cos^2(u)}{\sin(u)} \cdot (-\sin(u)) \, du = -\int \cos^2(u) \, du \]
On utilise l’identité \( \cos^2(u) = \frac{1 + \cos(2u)}{2} \) :
\[ -\int \cos^2(u) \, du = -\int \frac{1 + \cos(2u)}{2} \, du = -\frac{1}{2} \int (1 + \cos(2u)) \, du \]
\[ = -\frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{2} \sin(2u) \right) + C = -\frac{1}{2} u – \frac{1}{4} \sin(2u) + C \]
Comme \( u = \arccos(x) \) et \( \sin(2u) = 2\sin(u)\cos(u) = 2x\sqrt{1 – x^2} \), on a :
\[ -\frac{1}{2} \arccos(x) – \frac{1}{4} (2x\sqrt{1 – x^2}) + C \]
Conclusion : \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \arccos(x) – \frac{1}{2}x\sqrt{1 – x^2} + C \)
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Explication sur l’utilité du changement de variable \( x = \tan(u) \) pour \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \) :
Le changement de variable \( x = \tan(u) \) est utile pour cette intégrale car il transforme la fonction trigonométrique complexe \( \frac{1}{1 + x^2} \) en une fonction plus simple, \( \frac{1}{\sec^2(u)} \), qui est égale à 1. L’intégrale de 1 est simplement \( u \), ce qui, après remplacement, donne \( \arctan(x) \). Ce résultat est plus facile à obtenir et à interpréter que la forme initiale.
Conclusion : Le changement de variable \( x = \tan(u) \) simplifie considérablement le calcul de \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \) en le transformant en une intégrale élémentaire.
Exercice 3 : Changement de variable avec fonctions exponentielles
Objectif : Utiliser des changements de variable pour intégrer des fonctions exponentielles.
- Calculer \( \int e^{2x} \cdot \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx \) en posant \( u = 1 + e^{2x} \).
- Évaluer \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \) avec \( u = e^x \).
- Déterminer \( \int e^{x} \cdot \sin(e^{x}) \, dx \) en utilisant \( u = e^{x} \).
- Calculer \( \int \frac{e^{3x}}{1 + e^{x}} \, dx \) en posant \( u = e^{x} \).
- Expliquer pourquoi le changement de variable \( u = e^{x} \) est efficace pour \( \int e^{x} \cdot f(e^{x}) \, dx \).
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Calcul de \( \int e^{2x} \cdot \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx \) :
On pose \( u = 1 + e^{2x} \). Alors, \( du = 2e^{2x} \, dx \), ce qui implique \( \frac{1}{2} du = e^{2x} \, dx \).
De plus, \( \sqrt{1 + e^{2x}} = \sqrt{u} \).
L’intégrale devient :
\[ \int e^{2x} \cdot \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du \]
La primitive de \( \sqrt{u} \) est \( \frac{2}{3} u^{3/2} \). Donc :
\[ \frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} u^{3/2} + C \]
En substituant \( u = 1 + e^{2x} \), on obtient :
\[ \frac{1}{3} (1 + e^{2x})^{3/2} + C \]
Conclusion : \( \int e^{2x} \cdot \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{3} (1 + e^{2x})^{3/2} + C \)
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Évaluation de \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \) :
On utilise le changement de variable \( u = e^x \). Alors, \( du = e^x \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \int \frac{1}{1 + u^2} \, du \]
Cette intégrale est une forme standard, et sa primitive est \( \arctan(u) \). Donc :
\[ \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = \arctan(u) + C \]
En substituant \( u = e^x \), on obtient :
\[ \arctan(e^x) + C \]
Conclusion : \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \arctan(e^x) + C \)
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Déterminer \( \int e^{x} \cdot \sin(e^{x}) \, dx \) :
On utilise le changement de variable \( u = e^x \). Alors, \( du = e^x \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int e^{x} \cdot \sin(e^{x}) \, dx = \int \sin(u) \, du \]
La primitive de \( \sin(u) \) est \( -\cos(u) \). Donc :
\[ \int \sin(u) \, du = -\cos(u) + C \]
En substituant \( u = e^x \), on obtient :
\[ -\cos(e^x) + C \]
Conclusion : \( \int e^{x} \cdot \sin(e^{x}) \, dx = -\cos(e^x) + C \)
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Calcul de \( \int \frac{e^{3x}}{1 + e^{x}} \, dx \) :
On pose \( u = e^x \). Alors, \( du = e^x \, dx \) et \( e^{3x} = u^3 \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{e^{3x}}{1 + e^{x}} \, dx = \int \frac{u^3}{1 + u} \cdot \frac{1}{u} du = \int \frac{u^2}{1 + u} \, du \]
On utilise la division polynomial pour simplifier l’intégrande:
\[ \frac{u^2}{1 + u} = u – 1 + \frac{1}{1 + u} \]
Alors l’intégrale se décompose en :
\[ \int \left( u – 1 + \frac{1}{1 + u} \right) \, du = \int u \, du – \int 1 \, du + \int \frac{1}{1 + u} \, du \]
En calculant chaque intégrale séparément, on obtient :
\[ \frac{u^2}{2} – u + \ln|1 + u| + C \]
En substituant \( u = e^x \), on obtient :
\[ \frac{(e^x)^2}{2} – e^x + \ln|1 + e^x| + C \]
Conclusion : \( \int \frac{e^{3x}}{1 + e^{x}} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} – e^x + \ln|1 + e^x| + C \)
-
Explication sur l’efficacité du changement de variable \( u = e^{x} \) pour \( \int e^{x} \cdot f(e^{x}) \, dx \) :
Le changement de variable \( u = e^{x} \) est efficace pour ce type d’intégrale car il transforme le produit complexe \( e^{x} \cdot f(e^{x}) \) en une intégrale plus simple \( \int f(u) \, du \). La différentielle \( du = e^x \, dx \) permet de simplifier l’expression en éliminant l’exponentielle \( e^x \) de l’intégrande, ce qui rend le calcul de l’intégrale plus aisé.
Conclusion : Le changement de variable \( u = e^{x} \) est une technique puissante pour simplifier les intégrales de la forme \( \int e^{x} \cdot f(e^{x}) \, dx \), en les transformant en intégrales de fonctions de \( u \) plus faciles à traiter.
Exercice 4 : Changement de variable avec fonctions rationnelles
Objectif : Appliquer des changements de variable pour intégrer des fonctions rationnelles.
- Calculer \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \) en utilisant \( u = x^2 + 1 \).
- Évaluer \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx \) en complétant le carré et en posant \( u = x + 2 \).
- Déterminer \( \int \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 2} \, dx \) avec \( u = x^2 + 2x + 2 \).
- Calculer \( \int \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} \, dx \) en utilisant une décomposition en fractions simples.
- Expliquer pourquoi le changement de variable \( u = x + a \) est utile pour intégrer des fonctions rationnelles.
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Calcul de \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \) :
On utilise le changement de variable \( u = x^2 + 1 \). Alors, \( du = 2x \, dx \), ce qui implique \( \frac{1}{2} du = x \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du \]
La primitive de \( \frac{1}{u} \) est \( \ln|u| \). Donc :
\[ \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C \]
En substituant \( u = x^2 + 1 \), on obtient :
\[ \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \]
Conclusion : \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \)
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Évaluation de \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx \) :
On complète le carré dans le dénominateur :
\[ x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)^2 + 1 \]
On pose \( u = x + 2 \). Alors, \( du = dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx = \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du \]
Cette intégrale est une forme standard, et sa primitive est \( \arctan(u) \). Donc :
\[ \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \arctan(u) + C \]
En substituant \( u = x + 2 \), on obtient :
\[ \arctan(x + 2) + C \]
Conclusion : \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx = \arctan(x + 2) + C \)
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Déterminer \( \int \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 2} \, dx \) :
On pose \( u = x^2 + 2x + 2 \). Alors, \( du = (2x + 2) \, dx = 2(x + 1) \, dx \), ce qui implique \( \frac{1}{2} du = (x + 1) \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 2} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du \]
La primitive de \( \frac{1}{u} \) est \( \ln|u| \). Donc :
\[ \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C \]
En substituant \( u = x^2 + 2x + 2 \), on obtient :
\[ \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2x + 2| + C \]
Conclusion : \( \int \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 2} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2x + 2| + C \)
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Calcul de \( \int \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} \, dx \) :
On utilise une décomposition en fractions simples :
\[ \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} \]
En multipliant par \( (x + 1)(x + 2) \), on obtient :
\[ 1 = A(x + 2) + B(x + 1) \]
En choisissant des valeurs judicieuses pour \( x \), on trouve :
\[ x = -1 \Rightarrow 1 = A(-1 + 2) = A \Rightarrow A = 1 \]
\[ x = -2 \Rightarrow 1 = B(-2 + 1) = -B \Rightarrow B = -1 \]
Donc, la décomposition est :
\[ \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 1} – \frac{1}{x + 2} \]
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} \, dx = \int \left( \frac{1}{x + 1} – \frac{1}{x + 2} \right) \, dx \]
\[ = \int \frac{1}{x + 1} \, dx – \int \frac{1}{x + 2} \, dx \]
Les primitives sont \( \ln|x + 1| \) et \( \ln|x + 2| \). Donc :
\[ \int \frac{1}{x + 1} \, dx – \int \frac{1}{x + 2} \, dx = \ln|x + 1| – \ln|x + 2| + C \]
Conclusion : \( \int \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} \, dx = \ln|x + 1| – \ln|x + 2| + C = \ln\left|\frac{x + 1}{x + 2}\right| + C \)
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Explication sur l’utilité du changement de variable \( u = x + a \) pour intégrer des fonctions rationnelles :
Le changement de variable \( u = x + a \) est utile pour intégrer des fonctions rationnelles car il permet de transformer des expressions complexes en expressions plus simples, souvent en éliminant des termes quadratiques ou en factorisant des expressions. Ce type de substitution est particulièrement efficace lorsque le dénominateur de la fonction rationnelle est un polynôme du second degré ou une fonction plus complexe qui peut être simplifiée par un changement de variable approprié.
Conclusion : Le changement de variable \( u = x + a \) est une technique précieuse pour simplifier l’intégration des fonctions rationnelles, en permettant de transformer des intégrales complexes en intégrales plus faciles à résoudre.