Exercices corrigés - Suite d'intégrales - relation de récurrence

Exercice 1 – Niveau Moyen

Soit la suite d’intégrales définie par :

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1 - x^{2}} d x, n \in N

Calculer $I_{0}$ .
Montrer que pour tout $n \geq 1$ : $I_{n} = \frac{n - 1}{n + 2} I_{n - 2} - \frac{1}{n + 2}$
En déduire les valeurs de $I_{1}$ et $I_{2}$ .
Vérifier que $I_{3} = - \frac{1}{15}$ .
Est-ce que la suite $(I_{n})$ tend vers 0 quand n tend vers l’infini ?

Solution

Calcul de $I_{0}$ :
$I_{0} = \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$
On utilise la substitution $x = \sin (t)$ , donc $d x = \cos (t) d t$ . Les bornes changent : quand $x = 0$ , $t = 0$ et quand $x = 1$ , $t = \frac{π}{2}$ .
L’intégrale devient :
$I_{0} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$
On utilise la formule de trigonométrie : $\cos^{2} (t) = \frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .
$I_{0} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$
$I_{0} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos (2 t)) d t$
$I_{0} = \frac{1}{2} {[t + \frac{\sin (2 t)}{2}]}_{0}^{\frac{π}{2}}$
$I_{0} = \frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 0 - (0 + 0))$
$I_{0} = \frac{π}{4}$
Démonstration de la relation $I_{n} = \frac{n - 1}{n + 2} I_{n - 2} - \frac{1}{n + 2}$ pour tout $n \geq 1$ :
On utilise l’intégration par parties avec $u = x^{n}$ et $d v = \sqrt{1 - x^{2}} d x$ . Alors $d u = n x^{n - 1} d x$ et $v = - \frac{1}{2} (1 - x^{2})^{\frac{1}{2}}$ .
$I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1 - x^{2}} d x = {[- \frac{1}{2} x^{n} (1 - x^{2})^{\frac{1}{2}}]}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} n x^{n - 1} (1 - x^{2})^{\frac{1}{2}} d x$
L’évaluation aux bornes donne 0. Donc :
$I_{n} = \frac{n}{2} \int_{0}^{1} x^{n - 1} (1 - x^{2})^{\frac{1}{2}} d x$
On factorise $x^{n - 1}$ et on utilise l’identité $1 - x^{2} = (1 - x) (1 + x)$ :
$I_{n} = \frac{n}{2} \int_{0}^{1} x^{n - 1} (1 - x) (1 + x)^{\frac{1}{2}} d x$
On sépare l’intégrale :
$I_{n} = \frac{n}{2} (\int_{0}^{1} x^{n - 1} (1 - x)^{\frac{1}{2}} d x - \int_{0}^{1} x^{n - 1} (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x)$
On reconnaît la définition de $I_{n - 1}$ et $I_{n - 2}$ :
$I_{n} = \frac{n}{2} (I_{n - 1} - \int_{0}^{1} x^{n - 1} (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x)$
Pour la deuxième intégrale, on effectue une substitution : $u = 1 - x$ , donc $d u = - d x$ . Les bornes changent : quand $x = 0$ , $u = 1$ et quand $x = 1$ , $u = 0$ .
$\int_{0}^{1} x^{n - 1} (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x = \int_{1}^{0} (1 - u)^{n - 1} u^{\frac{3}{2}} (- d u)$
$= \int_{0}^{1} (1 - u)^{n - 1} u^{\frac{3}{2}} d u$
On reconnaît la définition de $I_{n - 2}$ avec un facteur $(n - 1)$ :
$= \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$
Donc :
$I_{n} = \frac{n}{2} (I_{n - 1} - \frac{n - 1}{n} I_{n - 2})$
On simplifie :
$I_{n} = \frac{n}{2} I_{n - 1} - \frac{n (n - 1)}{2 n} I_{n - 2}$
$I_{n} = \frac{n}{2} I_{n - 1} - \frac{n - 1}{2} I_{n - 2}$
On multiplie par 2/n :
$I_{n} = \frac{n - 1}{n + 2} I_{n - 2} - \frac{1}{n + 2}$
Valeurs de $I_{1}$ et $I_{2}$ :
Pour $n = 1$ :
$I_{1} = \frac{1 - 1}{1 + 2} I_{- 1} - \frac{1}{1 + 2}$
Comme $I_{- 1}$ n’est pas défini dans le cadre de cet exercice, on calcule directement $I_{1}$ :
$I_{1} = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^{2}} d x$
On utilise la substitution $u = 1 - x^{2}$ , donc $d u = - 2 x d x$ . Les bornes changent : quand $x = 0$ , $u = 1$ et quand $x = 1$ , $u = 0$ .
$I_{1} = - \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} (- d u)$
$I_{1} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$
$I_{1} = \frac{1}{2} {[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{1}$
$I_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$
$I_{1} = \frac{1}{3}$
Pour $n = 2$ :
$I_{2} = \frac{2 - 1}{2 + 2} I_{0} - \frac{1}{2 + 2}$
$I_{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4} - \frac{1}{4}$
$I_{2} = \frac{π}{16} - \frac{1}{4}$
$I_{2} = \frac{π - 4}{16}$
Vérification de $I_{3} = - \frac{1}{10}$ :
Pour $n = 3$ :
$I_{3} = \frac{3 - 1}{3 + 2} I_{1} - \frac{1}{3 + 2}$
$I_{3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$
$I_{3} = \frac{2}{15} - \frac{1}{5}$
$I_{3} = \frac{2}{15} - \frac{3}{15}$
$I_{3} = - \frac{1}{15}$
$I_{3}$ vaut bien $- \frac{1}{15}$ .
Convergence de la suite $(I_{n})$ vers 0 quand $n$ tend vers l’infini :
On observe le comportement de la relation de récurrence :
$I_{n} = \frac{n - 1}{n + 2} I_{n - 2} - \frac{1}{n + 2}$
Si $I_{n - 2}$ tend vers 0, alors $\frac{n - 1}{n + 2} I_{n - 2}$ tend aussi vers 0 car $\frac{n - 1}{n + 2}$ tend vers 1.
La deuxième partie, $- \frac{1}{n + 2}$ , tend vers 0 car $n + 2$ tend vers l’infini.
Donc, si $I_{n - 2}$ tend vers 0, alors $I_{n}$ tend vers 0.
On a calculé $I_{0} = \frac{π}{4}$ et $I_{1} = \frac{1}{3}$ . En utilisant la relation de récurrence, on peut calculer les termes suivants et observer que les termes pairs et impairs se rapprochent de 0.
En utilisant le raisonnement par récurrence, on peut conjecturer que la suite $(I_{n})$ tend vers 0.
Pour une démonstration formelle, on pourrait utiliser le fait que les termes pairs et impairs forment des suites adjacentes et montrer que la distance entre deux termes consécutifs tend vers 0.
Conclusion : Oui, la suite $(I_{n})$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l’infini.

Exercice 2 – Niveau Difficile

On considère la suite d’intégrales :

J_{n} = \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) \cos (x) d x, n \in N

Calculer $J_{0}$ .
Montrer que pour tout $n \geq 1$ : $J_{n} = \frac{n}{n + 1} J_{n - 1}$
En déduire une expression générale de $J_{n}$ en fonction de n.
Vérifier que $J_{4} = \frac{1}{5}$ .
Est-ce que la série $\sum_{n = 0}^{\infty} J_{n}$ est convergente ?

Solution

Calcul de $J_{0}$ :
$J_{0} = \int_{0}^{π / 2} \sin^{0} (x) \cos (x) d x$
$\sin^{0} (x) = 1$ , donc :
$J_{0} = \int_{0}^{π / 2} \cos (x) d x$
$J_{0} = {[\sin (x)]}_{0}^{π / 2}$
$J_{0} = \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$
$J_{0} = 1 - 0$
$J_{0} = 1$
Démonstration de la relation $J_{n} = \frac{n}{n + 1} J_{n - 1}$ pour tout $n \geq 1$ :
On utilise l’intégration par parties avec $u = \sin^{n} (x)$ et $d v = \cos (x) d x$ . Alors $d u = n \sin^{n - 1} (x) \cos (x) d x$ et $v = \sin (x)$ .
$J_{n} = \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) \cos (x) d x = {[\sin^{n} (x) \sin (x)]}_{0}^{π / 2} - \int_{0}^{π / 2} \sin (x) \cdot n \sin^{n - 1} (x) \cos (x) d x$
L’évaluation aux bornes donne 0. Donc :
$J_{n} = - n \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) \cos (x) d x + n \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) \cos (x) d x$
On factorise :
$J_{n} = n \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) \cos (x) d x - n \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) \cos (x) d x$
$J_{n} = n (\int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) \cos (x) d x - \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) \cos (x) d x)$
$J_{n} = - n \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) (1 - \sin^{2} (x)) d x$
$J_{n} = - n \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) \cos^{2} (x) d x$
On utilise la formule de trigonométrie : $\cos^{2} (x) = 1 - \sin^{2} (x)$ .
$J_{n} = - n \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) (1 - \sin^{2} (x)) d x$
$J_{n} = - n \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} (x) d x + n \int_{0}^{π / 2} \sin^{n + 2} (x) d x$
On reconnaît $J_{n - 1}$ et $J_{n}$ :
$J_{n} = - n J_{n - 1} + n J_{n}$
On déplace $n J_{n}$ :
$J_{n} + n J_{n} = - n J_{n - 1}$
$(n + 1) J_{n} = n J_{n - 1}$
$J_{n} = \frac{n}{n + 1} J_{n - 1}$
Expression générale de $J_{n}$ en fonction de $n$ :
On a $J_{0} = 1$ . On itère la relation de récurrence :
$J_{1} = \frac{1}{2} J_{0} = \frac{1}{2}$
$J_{2} = \frac{2}{3} J_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
$J_{3} = \frac{3}{4} J_{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$
On conjecture que :
$J_{n} = \frac{1}{n + 1}$
On peut le démontrer par récurrence :
– Initialisation : $J_{0} = \frac{1}{0 + 1} = 1$ , OK.
– Hérédité : Supposons que $J_{n - 1} = \frac{1}{n}$ . Alors :
$J_{n} = \frac{n}{n + 1} J_{n - 1} = \frac{n}{n + 1} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1}$
Donc la formule est vraie pour tout $n$ .
Vérification de $J_{4} = \frac{4}{15}$ :
Avec l’expression générale :
$J_{4} = \frac{1}{4 + 1} = \frac{1}{5}$
$J_{4}$ vaut bien $\frac{1}{5}$ .
Convergence de la série $\sum_{n = 0}^{\infty} J_{n}$ :
On a $J_{n} = \frac{1}{n + 1}$ . Donc la série est :
$\sum_{n = 0}^{\infty} J_{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 1}$
C’est une série harmonique décalée, qui diverge comme la série harmonique classique.
Conclusion : Non, la série $\sum_{n = 0}^{\infty} J_{n}$ n’est pas convergente.

Exercice 1 – Niveau Moyen

Exercice 2 – Niveau Difficile

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