Dans ce document, nous allons explorer le concept de Forces de tension d’un fil de masse négligeable, un modèle idéalisé fréquemment utilisé en mécanique classique, notamment au niveau universitaire, pour simplifier l’analyse des systèmes impliquant des cordes, câbles, ou fils.
Forces de tension d’un fil de masse négligeable
Un fil de masse négligeable est une idéalisation où la masse du fil est considérée comme suffisamment petite pour être ignorée par rapport aux autres masses et forces du système. Cette hypothèse simplifie considérablement l’analyse, car elle implique plusieurs conséquences importantes :
- La tension est constante tout le long du fil : Si la masse du fil est négligeable, et qu’aucune force extérieure (autre que la tension) n’agit sur le fil *entre* les points d’application des forces, alors la tension \(T\) est la même en tout point du fil. Ceci est une conséquence directe de la deuxième loi de Newton appliquée à un segment infinitésimal du fil. Si la masse de ce segment est nulle, la somme des forces sur ce segment doit être nulle, ce qui implique que les tensions aux deux extrémités du segment doivent être égales en magnitude et opposées en direction.
- Le fil transmet intégralement les forces : La force appliquée à une extrémité du fil est transmise intégralement à l’autre extrémité. Le fil sert uniquement de « lien » entre les objets.
- Le fil est inextensible (souvent, mais pas toujours) : Bien que « masse négligeable » n’implique pas *nécessairement* inextensibilité, c’est une hypothèse très courante qui l’accompagne. Un fil inextensible ne change pas de longueur, quelle que soit la tension appliquée. Si le fil était extensible, la tension ne serait plus uniforme (voir la loi de Hooke pour les ressorts).
Considérons deux masses, \(m_1\) et \(m_2\), reliées par un fil de masse négligeable passant par une poulie (également de masse négligeable et sans frottement). Les forces agissant sur chaque masse sont :
- Sur \(m_1\) : Son poids \(m_1g\) (vers le bas) et la tension \(T\) du fil (vers le haut).
- Sur \(m_2\) : Son poids \(m_2g\) (vers le bas) et la tension \(T\) du fil (vers le haut).
La deuxième loi de Newton (\(\sum F = ma\)) pour chaque masse donne (en prenant l’axe vertical orienté positivement vers le haut):
Pour \(m_1\): \( T – m_1g = m_1a_1 \)
Pour \(m_2\): \( T – m_2g = m_2a_2 \)
Si le fil est inextensible, les accélérations des deux masses sont liées : \( a_1 = -a_2 = a \). On peut alors résoudre ce système de deux équations à deux inconnues (\(T\) et \(a\)) pour trouver la tension dans le fil et l’accélération du système.
Exemples sur Forces de tension d’un fil de masse négligeable
Exemple 1: Machine d’Atwood
Deux masses, \(m_1 = 5.0 \ kg\) et \(m_2 = 3.0 \ kg\), sont reliées par un fil de masse négligeable passant sur une poulie idéale (sans masse et sans frottement). Trouvez l’accélération du système et la tension dans le fil.
Solution :
Comme établi précédemment, nous avons les équations :
\( T – m_1g = m_1a \)
\( T – m_2g = -m_2a \)
On peut soustraire la deuxième équation de la première pour éliminer \(T\):
\( (T – m_1g) – (T – m_2g) = m_1a – (-m_2a) \)
\( m_2g – m_1g = (m_1 + m_2)a \)
On isole \(a\):
\( a = \frac{m_2 – m_1}{m_1 + m_2}g = \frac{3.0 \ kg – 5.0 \ kg}{5.0 \ kg + 3.0 \ kg}(9.81 \ m/s^2) = -2.45 \ m/s^2 \)
L’accélération est négative, ce qui signifie que \(m_1\) descend et \(m_2\) monte (comme on pouvait s’y attendre puisque \(m_1 > m_2\)).
Pour trouver la tension, on substitue la valeur de \(a\) dans l’une des équations initiales. Utilisons la première équation : \( T = m_1(g + a) = (5.0 \ kg)(9.81 \ m/s^2 – 2.45 \ m/s^2) = 36.8 \ N \)
Exemple 2: Bloc sur un plan incliné avec frottement
Un bloc de masse \(m = 4.0 \ kg\) est placé sur un plan incliné à un angle \(\theta = 30^\circ\) par rapport à l’horizontale. Le bloc est relié à une masse suspendue \(M = 6.0 \ kg\) par un fil de masse négligeable passant sur une poulie idéale. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan incliné est \(\mu_k = 0.2\). Trouvez l’accélération du système et la tension dans le fil.
Solution:
Forces sur le bloc de masse \(m\):
- Poids : \(mg\) (verticalement vers le bas)
- Normale : \(N\) (perpendiculaire au plan incliné)
- Tension : \(T\) (parallèle au plan incliné, vers le haut)
- Frottement cinétique : \(f_k = \mu_k N\) (parallèle au plan incliné, opposé au mouvement)
Forces sur la masse suspendue \(M\) :
- Poids : \( Mg \)
- Tension : \(T\)
On décompose le poids du bloc \(m\) en composantes parallèle et perpendiculaire au plan incliné:
- Composante parallèle : \(mg\sin\theta\) (vers le bas du plan)
- Composante perpendiculaire : \(mg\cos\theta\) (vers le plan)
On applique la deuxième loi de newton.
Pour la masse m suivant l’axe x : \( T – mg\sin(\theta) – f_k = ma\)
Pour la masse m suivant l’axe y : \( N – mg\cos(\theta) = 0\)
Pour la masse M: \( T – Mg = -Ma\)
Comme \(f_k = \mu_k N\) et \( N = mg\cos(\theta)\), alors l’equation suivant l’axe x pour la masse m devient: \( T – mg\sin(\theta) – \mu_k mg\cos(\theta) = ma\)
En combinant les équations, et isolant a:
\(a = \frac{M – m\sin(\theta) – \mu_k m\cos(\theta)}{M + m}g\)
Application numérique : \(a = \frac{6 – 4\sin(30) – 0.2 \times 4\cos(30)}{6+4} \times 9.81 \approx 3.24 m/s^2\)
Calculons T maintenant:
\( T = M(g-a) = 6(9.81 – 3.24) \approx 39.42 N\)