Le théorème de Taylor-Young

Démonstration Nous allons montrer le résultat en utilisant un raisonnement par récurrence.

$\ge$ Pour $n=1$, considérons une fonction $f$ définie sur un intervalle ouvert $I$ possédant une dérivée en $x_0\in I$. La quantité

$\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}–f^{\prime }(x_0)=\frac{f(x)–f(x_0)–f^{\prime }(x_0)(x–x_0)}{x–x_0}$

admet pour limite $0$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ car $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}$. Cela se traduit par $f(x)–f(x_0)–f^{\prime }(x_0)(x–x_0)=o_{x_0}(x–x_0)$. On a donc

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x–x_0)+o_{x_0}(x–x_0)$

et la formule de Taylor-Young à l’ordre $1$ est vraie.

$\ge$ Supposons que la formule de Taylor-Young à l’ordre $(n-1)$ soit vraie et montrons qu’elle est également vraie à l’ordre $n$. Nous supposons donc que pour toute fonction $g$ qui est $(n-2)$ fois dérivable sur $I$ et qui admet une dérivée $(n-1)$-ième en $x_0$ on ait

$g(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{g^{(k)}(x_0)}{k!}(x–x_0{)}^k+o_{x_0}((x–x_0{)}^{n-1})$

et nous allons montrer que pour toute fonction $f$ qui est $(n-1)$ fois dérivable sur $I$ et qui admet une dérivée $n$-ième en $x_0$ on a

$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x–x_0{)}^k+o_{x_0}((x–x_0{)}^n).$

Considérons la fonction $\varphi$ définie sur $I$ par

$\varphi (x)=f(x)–\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x–x_0{)}^k.$

La formule de Taylor-Young à l’ordre $n$ sera démontrée si l’on établit que $\varphi (x)=o_{x_0}((x–x_0{)}^n)$, autrement dit, si l’on établit que $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\varphi (x)}{(x–x_0{)}^n}=0$.

Pour montrer ce résultat nous allons avoir recours à la règle de L’Hôpital. Puisque par hypothèse $f$ est $(n-1)$ fois dérivable sur $I$, d’après la relation précédente l’application $\varphi$ est également $(n-1)$ fois dérivable sur $I$ et pour tout $i\in \{1,\dots ,n-1\}$, on a

$\mathrm{\forall }x\in I{\varphi }^{(i)}(x)=f^{(i)}(x)–\sum _{k=i}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-i)!}(x–x_0{)}^{k-i}.$

On en déduit que ${\varphi }^{(i)}(x_0)=0$ pour tout $i\in \{1,\dots ,n-1\}$. Par ailleurs, d’après la relation précédente pour tout $x\in I$ on a

$\frac{{\varphi }^{(n-1)}(x)–{\varphi }^{(n-1)}(x_0)}{x–x_0}=\frac{f^{(n-1)}(x)–f^{(n-1)}(x_0)–f^{(n)}(x_0)(x–x_0)}{x–x_0}={\mathrm{\Delta }}_{x_0}(x)–f^{(n)}(x_0).$

Puisque $f$ admet une dérivée $n$-ième en $x_0$, la quantité ${\mathrm{\Delta }}_{x_0}(x)$ tend vers $f^{(n)}(x_0)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$. On en déduit que $\varphi$ admet une dérivée $n$-ième en $x_0$ qui prend la valeur $0$. On a donc établi que la fonction $\varphi$ est $(n-1)$ fois dérivable sur $I$ et qu’elle admet une dérivée $n$-ième en $x_0$. Cela implique que la fonction ${\varphi }^{\prime }$ est $(n-2)$ fois dérivable sur $I$ et qu’elle admet une dérivée $(n-1)$-ième en $x_0$. La fonction ${\varphi }^{\prime }$ satisfait donc aux conditions de l’hypothèse de récurrence et on peut lui appliquer la formule de Taylor-Young à l’ordre $(n-1)$. On obtient

${\varphi }^{\prime }(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{({\varphi }^{\prime }{)}^{(k)}(x_0)}{k!}(x–x_0{)}^k+o_{x_0}((x–x_0{)}^{n-1})$

$=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}{\varphi }^{(k+1)}(x_0)(x–x_0{)}^k+o_{x_0}((x–x_0{)}^{n-1})$

$=o_{x_0}((x–x_0{)}^{n-1}).$

On a donc

$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{{\varphi }^{\prime }(x)}{(x–x_0{)}^n}=\frac{1}{n}\underset{x\to x_0}{lim}\frac{{\varphi }^{\prime }(x)}{(x–x_0{)}^{n-1}}=0.$

Les fonctions $\varphi$ et $r:x\mapsto (x–x_0{)}^n$ étant continues et dérivables sur un voisinage de $x_0$ et $\varphi (x_0)=r(x_0)=0$, la règle de L’Hôpital indique que

$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\varphi (x)}{(x–x_0{)}^n}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\varphi (x)–\varphi (x_0)}{(x–x_0{)}^n–r(x_0)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{{\varphi }^{\prime }(x)}{r^{\prime }(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{{\varphi }^{\prime }(x)}{n(x–x_0{)}^{n-1}}=0.$

On conclut que $\varphi (x)=o_{x_0}((x–x_0{)}^n)$. La formule de Taylor-Young à l’ordre $n$ est démontrée et le raisonnement par récurrence achevé.

La formule de Taylor-Young permet d’obtenir le développement limité d’ordre $n$ en $0$ de plusieurs fonctions usuelles.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$ Considérons la fonction $f:x\in \mathbb{R}\mapsto e^x$. Pour tout $k\in \mathbb{N}$, on a $f^{(k)}(0)=1$. On en déduit que le développement limité d’ordre $n$ en $0$ de la fonction exponentielle est :

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+o_0(x^n)=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+o_0(x^n).$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$ Considérons la fonction $f:x\in \mathbb{R}\mapsto \sin (x)$. Pour tout entier $\ell$ pair ($\ell =2k$ avec $k\in \mathbb{N}$) on a $f^{(\ell )}(0)=0$ et pour tout entier $\ell$ impair ($\ell =2k+1$ avec $k\in \mathbb{N}$) on a $f^{(\ell )}(0)=(-1{)}^k$. On en déduit que le développement limité d’ordre $2p+2$ en $0$ de la fonction sinus est :

$\sin (x)=x–\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots +(-1{)}^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+o_0(x^{2p+2})=\sum _{k=0}^p(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o_0(x^{2p+2}).$

On remarquera que le développement limité d’ordre $2p+1$ en $0$ de la fonction sinus admet la même partie régulière que le développement limité d’ordre $2p+2$ en $0$, cela en raison de la parité de la fonction sinus.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$ Examinons la fonction $f:x\in \mathbb{R}\mapsto \cos (x)$. Pour tout entier $\ell$ pair ($\ell =2k$ avec $k\in \mathbb{N}$), on a $f^{(\ell )}(0)=(-1{)}^k$, et pour tout entier $\ell$ impair ($\ell =2k+1$ avec $k\in \mathbb{N}$), on a $f^{(\ell )}(0)=0$. On en déduit que le développement limité d’ordre $2p+1$ en $0$ de la fonction cosinus est :

On remarquera que le développement limité d’ordre $2p$ en $0$ de la fonction cosinus admet la même partie régulière que le développement limité d’ordre $2p+1$ en $0$, cela en raison de la parité de la fonction cosinus.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$ Examinons la fonction $f:x\in \mathbb{R}\mapsto \sinh (x)$. Pour tout entier $\ell$ pair ($\ell =2k$ avec $k\in \mathbb{N}$), on a $f^{(\ell )}(0)=0$, et pour tout entier $\ell$ impair ($\ell =2k+1$ avec $k\in \mathbb{N}$), on a $f^{(\ell )}(0)=1$. On en déduit que le développement limité d’ordre $n=2p+2$, $p\in \mathbb{N}$, en $0$ de la fonction sinus hyperbolique est :

On remarquera que le développement limité d’ordre $n=2p+1$, $p\in \mathbb{N}$, en $0$ de la fonction sinus hyperbolique admet la même partie régulière que le développement limité d’ordre $n=2p+2$, $p\in \mathbb{N}$, en $0$, cela en raison de la parité de la fonction sinus hyperbolique.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$ Examinons la fonction $f:x\in \mathbb{R}\mapsto \cosh (x)$. Pour tout entier $\ell$ pair ($\ell =2k$ avec $k\in \mathbb{N}$), on a $f^{(\ell )}(0)=1$, et pour tout entier $\ell$ impair ($\ell =2k+1$ avec $k\in \mathbb{N}$), on a $f^{(\ell )}(0)=0$. On en déduit que le développement limité d’ordre $2p+1$ en $0$ de la fonction cosinus hyperbolique est :

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$ Examinons la fonction $f:x\in ]-1,1[\mapsto \frac{1}{1-x}$. Par récurrence, on vérifie que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on a $f^{(k)}(x)=k!/(1-x{)}^{k+1}$. On en déduit le développement limité suivant :

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$ Examinons la fonction $f:x\in ]-1,1[\mapsto \frac{1}{1+x}$. On vérifie que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on a $f^{(k)}(x)=(-1{)}^{k}k!/(1-x{)}^{k+1}$. On en déduit le développement limité suivant :

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$ De manière plus générale, pour $\alpha \in \mathbb{R}$, considérons la fonction $f:x\in ]-1,1[\mapsto (1+x{)}^{\alpha }$ qui est une application de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-1,1[$. On vérifie par récurrence que pour tout $k\in \mathbb{N}$,

$f^{(k)}(x)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)(1+x{)}^{\alpha -k}.$

On en déduit le développement limité suivant :