Le raisonnement par contre-exemple constitue une méthode puissante en mathématiques pour réfuter des propositions générales en démontrant leur fausseté par un unique cas spécifique.
Raisonnement par contre-exemple
Le raisonnement par contre-exemple permet de prouver qu’une affirmation mathématique est fausse en exhibant un cas précis qui ne respecte pas la propriété énoncée.
Caractéristiques principales :
- Unicité : Un seul contre-exemple suffit à invalider une proposition universelle
- Précision : Le contre-exemple doit être mathématiquement rigoureux
Exemples sur raisonnement par contre-exemple
Exemple 1 : Propriété de divisibilité
Réfuter l’affirmation : « Tout nombre premier est impair ».
Contre-exemple : Le nombre 2 est un nombre premier et pair.
Démonstration : \[ 2 = \text{premier} \land 2 = \text{pair} \implies \text{la proposition est fausse} \]
Exemple 2 : Inégalité mathématique
Réfuter : « Pour tout \( x > 0 \), \( \sqrt{x^2} = x \) ».
Contre-exemple : Considérons \( x = -5 \).
Calcul : \[ \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \neq -5 \]
Exemple 3 : Propriété de convergence
Réfuter : « Toute suite croissante converge ».
Contre-exemple : La suite \( u_n = n \) est croissante mais diverge vers l’infini.
Démonstration : \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \infty \implies \text{non convergence} \]