Le raisonnement par contre-exemple constitue une méthode puissante en mathématiques pour réfuter des propositions générales en démontrant leur fausseté par un unique cas spécifique.

Raisonnement par contre-exemple

Le raisonnement par contre-exemple permet de prouver qu’une affirmation mathématique est fausse en exhibant un cas précis qui ne respecte pas la propriété énoncée.

Caractéristiques principales :

  • Unicité : Un seul contre-exemple suffit à invalider une proposition universelle
  • Précision : Le contre-exemple doit être mathématiquement rigoureux

Exemples sur raisonnement par contre-exemple

Exemple 1 : Propriété de divisibilité

Réfuter l’affirmation : « Tout nombre premier est impair ».

Contre-exemple : Le nombre 2 est un nombre premier et pair.

Démonstration : \[ 2 = \text{premier} \land 2 = \text{pair} \implies \text{la proposition est fausse} \]

Exemple 2 : Inégalité mathématique

Réfuter : « Pour tout \( x > 0 \), \( \sqrt{x^2} = x \) ».

Contre-exemple : Considérons \( x = -5 \).

Calcul : \[ \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \neq -5 \]

Exemple 3 : Propriété de convergence

Réfuter : « Toute suite croissante converge ».

Contre-exemple : La suite \( u_n = n \) est croissante mais diverge vers l’infini.

Démonstration : \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \infty \implies \text{non convergence} \]