Cet article explique les notions d’union et intersection de deux ensembles, concepts fondamentaux en mathématiques de niveau supérieur.
Union et intersection de deux ensembles
L’union de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A \cup B\), est l’ensemble des éléments qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\) (ou aux deux). Formellement, \(A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}\). L’intersection de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A \cap B\), est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\). Formellement, \(A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \in B\}\). Si \(A \cap B = ∅\), on dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints.
Exemples sur « Union et intersection de deux ensembles »
1. Soient \(A = \{1, 2, 3\}\) et \(B = \{3, 4, 5\}\). Alors \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) et \(A \cap B = \{3\}\).
2. Soient \(C = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\}\) et \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\). Alors \(C \cup D = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \text{ ou } x > 0\} = \mathbb{R}\) et \(C \cap D = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2\}\).
3. Soient \(E = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ est pair}\}\) et \(F = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ est impair}\}\). Alors \(E \cup F = \mathbb{N}\) et \(E \cap F = ∅\). Les ensembles \(E\) et \(F\) sont disjoints.