Cet article explique la notion d’ensemble des parties d’un ensemble \(E\), un concept crucial en mathématiques de niveau supérieur.
Ensemble des parties d’un ensemble E
L’ensemble des parties d’un ensemble \(E\), noté \(℘(E)\) (ou parfois \(2^E\)), est l’ensemble dont les éléments sont tous les sous-ensembles de \(E\). Formellement, \(℘(E) = \{A \mid A \subset E\}\). Cela inclut l’ensemble vide \(∅\) et l’ensemble \(E\) lui-même. Si \(E\) est un ensemble fini avec \(n\) éléments, alors \(℘(E)\) contient \(2^n\) éléments.
Exemples sur « Ensemble des parties d’un ensemble E »
1. Soit \(E = \{1, 2\}\). Alors \(℘(E) = \{∅, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}\). \(℘(E)\) contient \(2^2 = 4\) éléments.
2. Soit \(E = \{a, b, c\}\). Alors \(℘(E) = \{∅, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\). \(℘(E)\) contient \(2^3 = 8\) éléments.
3. Soit \(E = ∅\). Alors \(℘(E) = \{∅\}\). \(℘(E)\) contient \(2^0 = 1\) élément.
4. Si \(E = \mathbb{N}\) (l’ensemble des entiers naturels), alors \(℘(E)\) est un ensemble infini non dénombrable. Il contient des sous-ensembles finis comme \(\{1, 2, 3\}\), des sous-ensembles infinis dénombrables comme l’ensemble des nombres pairs, et des sous-ensembles infinis non dénombrables.