Cet article traite des différents types d’applications : injective, surjective, bijective et permutation, des notions fondamentales en mathématiques de niveau supérieur.
Application injective, surjective, bijective, permutation
Soit \(f : A \to B\) une application. \(f\) est injective (ou one-to-one) si chaque élément de \(B\) a au plus un antécédent par \(f\). Formellement, \(f\) est injective si pour tous \(x_1, x_2 \in A\), \(f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2\). \(f\) est surjective (ou onto) si chaque élément de \(B\) a au moins un antécédent par \(f\). Formellement, \(f\) est surjective si pour tout \(y \in B\), il existe \(x \in A\) tel que \(f(x) = y\). \(f\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Une permutation est une bijection d’un ensemble \(A\) sur lui-même.
Exemples sur « Application injective, surjective, bijective, permutation »
1. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^2\). \(f\) n’est ni injective (car \(f(-1) = f(1) = 1\)) ni surjective (car -1 n’a pas d’antécédent).
2. Soit \(g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) définie par \(g(n) = 2n\). \(g\) est injective mais pas surjective (car 1 n’a pas d’antécédent).
3. Soit \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\) définie par \(h(x) = e^x\). \(h\) est injective et surjective, donc bijective.
4. Soit \(i : \{1, 2, 3\} \to \{a, b, c\}\) définie par \(i(1) = a\), \(i(2) = b\) et \(i(3) = c\). \(i\) est bijective.
5. Soit \(j : \{1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3\}\) définie par \(j(1) = 2\), \(j(2) = 3\) et \(j(3) = 1\). \(j\) est une permutation de \(\{1, 2, 3\}\).