Cet article explique la notion de fonction indicatrice (ou caractéristique), un outil utile en mathématiques de niveau supérieur.
Fonction indicatrice ou caractéristique
Soit \(E\) un ensemble et \(A\) un sous-ensemble de \(E\). La fonction indicatrice (ou fonction caractéristique) de \(A\), notée \(1_A\) (ou parfois \(\chi_A\) ou \(\mathbb{I}_A\)), est la fonction de \(E\) dans \(\{0, 1\}\) définie par :
\(1_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in A \\ 0 & \text{si } x \notin A \end{cases}\)
Exemples sur « Fonction indicatrice ou caractéristique »
1. Soit \(E = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) et \(A = \{1, 3, 5\}\). Alors :
\(1_A(1) = 1\)
\(1_A(2) = 0\)
\(1_A(3) = 1\)
\(1_A(4) = 0\)
\(1_A(5) = 1\)
2. Soit \(E = \mathbb{R}\) et \(A = [0, 1]\). Alors \(1_A(x) = 1\) si \(0 \le x \le 1\) et \(1_A(x) = 0\) sinon.
3. Soit \(E = \mathbb{Z}\) et \(A\) l’ensemble des nombres pairs. Alors \(1_A(n) = 1\) si \(n\) est pair et \(1_A(n) = 0\) si \(n\) est impair.
4. Les fonctions indicatrices sont utiles pour exprimer des propriétés d’ensembles de manière concise. Par exemple, \(1_{A \cap B}(x) = 1_A(x) \cdot 1_B(x)\) et \(1_{A \cup B}(x) = 1_A(x) + 1_B(x) – 1_A(x) \cdot 1_B(x)\).
5. En probabilités, la fonction indicatrice d’un événement est une variable aléatoire qui vaut 1 si l’événement se produit et 0 sinon.