Cet article introduit les concepts de relation binaire et de graphe d’une relation, des notions fondamentales en mathématiques de niveau supérieur.
Relations : relation binaire, graphe d’une relation
Une relation binaire \(R\) sur un ensemble \(E\) est un sous-ensemble du produit cartésien \(E \times E\). Si \((x, y) \in R\), on dit que \(x\) est en relation avec \(y\) et on note \(xRy\). Si \((x, y) \notin R\), on note \(x \not R y\). Le graphe d’une relation \(R\) sur \(E\) est l’ensemble des couples \((x, y) \in E \times E\) tels que \(xRy\). Il peut être représenté visuellement, notamment si \(E\) est fini.
Exemples sur « Relation binaire, graphe d’une relation »
1. Soit \(E = \{1, 2, 3\}\) et \(R\) la relation définie par \(xRy\) si et seulement si \(x < y\). Alors \(R = \{(1, 2), (1, 3), (2, 3)\}\).
2. Soit \(E = \mathbb{Z}\) et \(R\) la relation de divisibilité, définie par \(xRy\) si et seulement si \(x\) divise \(y\). Par exemple, \(2R4\) (car 2 divise 4), mais \(4 \not R 2\).
3. Soit \(E\) l’ensemble des droites du plan et \(R\) la relation de parallélisme, définie par \(d_1 R d_2\) si et seulement si \(d_1\) est parallèle à \(d_2\). C’est une relation d’équivalence.
4. La relation d’égalité sur un ensemble \(E\) est une relation binaire dont le graphe est la diagonale de \(E \times E\), c’est-à-dire \(\{(x, x) \mid x \in E\}\).
Le graphe d’une relation permet de visualiser la relation et de mieux comprendre ses propriétés.