Cet article aborde les notions de domaine, d’image et de relation n-aire dans le contexte des relations, des concepts importants en mathématiques de niveau supérieur.
Relations : domaine, image, relation n-aire
Soit \(R\) une relation binaire sur un ensemble \(E\). Le domaine de \(R\), noté Dom(\(R\)), est l’ensemble des éléments \(x \in E\) pour lesquels il existe un \(y \in E\) tel que \(xRy\). Formellement, Dom(\(R\) = \(\{x \in E \mid \exists y \in E, xRy\}\). L’image de \(R\), notée Im(\(R\)), est l’ensemble des éléments \(y \in E\) pour lesquels il existe un \(x \in E\) tel que \(xRy\). Formellement, Im(\(R\)) = \(\{y \in E \mid \exists x \in E, xRy\}\). Une relation n-aire sur les ensembles \(E_1, E_2, …, E_n\) est un sous-ensemble du produit cartésien \(E_1 \times E_2 \times … \times E_n\).
Exemples sur « Relations : domaine, image, relation n-aire »
1. Soit \(E = \{1, 2, 3, 4\}\) et \(R = \{(1, 2), (1, 3), (2, 4)\}\). Alors Dom(\(R\) = \(\{1, 2\}\) et Im(\(R\)) = \(\{2, 3, 4\}\).
2. Soit \(E = \mathbb{R}\) et \(R\) la relation définie par \(xRy\) si et seulement si \(x^2 + y^2 = 1\). Alors Dom(\(R\)) = Im(\(R\)) = \([-1, 1]\).
3. Un exemple de relation ternaire (3-aire) est la relation « être entre » sur l’ensemble des points d’une droite. Si \(A\), \(B\) et \(C\) sont trois points alignés, on peut définir la relation \(R(A, B, C)\) qui est vraie si et seulement si \(B\) est entre \(A\) et \(C\).
4. En bases de données relationnelles, les données sont organisées en tables. Chaque table représente une relation n-aire, où \(n\) est le nombre de colonnes. Chaque ligne de la table représente un n-uplet appartenant à la relation.
Les relations n-aires généralisent les relations binaires et permettent de modéliser des relations plus complexes entre plusieurs ensembles.