Relation réflexive, symétrique, antisymétrique et transitive

Cet article présente les propriétés importantes des relations binaires : réflexivité, symétrie, antisymétrie et transitivité, des concepts clés en mathématiques de niveau supérieur.

Relation réflexive, symétrique, antisymétrique et transitive

Soit R une relation binaire sur un ensemble E.
– R est réflexive si pour tout x∈E, xRx.
– R est symétrique si pour tous x,y∈E, xRy⟹yRx.
– R est antisymétrique si pour tous x,y∈E, (xRy et yRx)⟹x=y.
– R est transitive si pour tous x,y,z∈E, (xRy et yRz)⟹xRz.

Exemples sur « Relation réflexive, symétrique, antisymétrique et transitive »

1. Soit E=N et R la relation « est inférieur ou égal à », notée ≤. R est réflexive, antisymétrique et transitive. Elle n’est pas symétrique.

2. Soit E l’ensemble des droites du plan et R la relation de parallélisme. R est réflexive, symétrique et transitive. Elle n’est pas antisymétrique (deux droites distinctes peuvent être parallèles).

3. Soit E={1,2,3} et R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}. R est réflexive et symétrique, mais ni antisymétrique ni transitive (on a 1R2 et 2R1 mais 1≠2, et on a 1R2 et 2R1 mais pas 1R1 si on enlève les boucles réflexives).

1 2 3

4. Soit E un ensemble quelconque et R la relation vide (aucun élément n’est en relation avec aucun autre). R est symétrique et transitive, mais pas réflexive.

Ces propriétés permettent de classifier les relations et sont essentielles pour définir des structures mathématiques comme les ordres et les relations d’équivalence.