La relation d’ordre (partiel, total), d’équivalence, de préordre est un concept fondamental en mathématiques, particulièrement dans l’étude des structures algébriques et des ensembles ordonnés. Ces relations permettent de mieux comprendre l’organisation et la classification des éléments d’un ensemble.
Relation d’ordre (partiel, total), d’équivalence, de préordre
Une relation binaire \( R \) sur un ensemble \( E \) est définie comme une partie du produit cartésien \( E \times E \). On distingue plusieurs types de relations :
- Relation d’ordre partiel : Une relation \( R \) est un ordre partiel si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
- Relation d’ordre total : Un ordre partiel est total si, pour tout \( x, y \in E \), on a \( x R y \) ou \( y R x \).
- Relation d’équivalence : Une relation est une équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.
- Préordre : Un préordre est une relation qui est à la fois réflexive et transitive.
En termes de graphes, une relation peut être représentée par un graphe orienté, où un arc existe de \( x \) vers \( y \) si \( x R y \).
Formule générale d’une relation :
\[ R \subseteq E \times E \]
Exemples sur Relation d’ordre (partiel, total), d’équivalence, de préordre
Exemple 1 : Soit \( E = \{1, 2, 3\} \) et la relation \( R \) définie par \( x R y \iff x \leq y \).
Solution :
Cette relation est un ordre total car pour tout \( x, y \in E \), on a toujours \( x \leq y \) ou \( y \leq x \).
Exemple 2 : Soit \( E = \{a, b, c\} \) et la relation \( R \) définie par \( a R a \), \( b R b \), \( c R c \), \( a R b \), \( b R c \).
Solution :
Cette relation est un ordre partiel mais non total car \( a R b \) et \( b R c \) mais \( c \not R a \).