Les sommes arithmétiques sont un concept fondamental en mathématiques, souvent utilisé pour calculer la somme des termes d’une suite arithmétique. Elles jouent un rôle essentiel dans de nombreux domaines, tels que l’analyse, l’algèbre et les sciences appliquées.
Sommes arithmétiques
Une somme arithmétique est la somme des termes d’une suite arithmétique, c’est-à-dire une suite où chaque terme est obtenu en ajoutant une constante \(d\) (la raison) au terme précédent. La formule générale pour calculer la somme des \(n\) premiers termes d’une suite arithmétique est :
\[ S_n = \frac{n}{2} \times (2a_1 + (n – 1)d) \]
où :
- \(S_n\) est la somme des \(n\) premiers termes,
- \(a_1\) est le premier terme,
- \(d\) est la raison,
- \(n\) est le nombre de termes.
Une autre forme courante de cette formule est :
\[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \]
où \(a_n\) est le \(n\)-ième terme de la suite.
Exemples sur Sommes arithmétiques
Prenons un exemple concret pour illustrer l’utilisation des sommes arithmétiques. Considérons la suite arithmétique suivante : \(3, 7, 11, 15, 19\).
Pour calculer la somme des 5 premiers termes, nous utilisons la formule :
\[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \]
Ici, \(a_1 = 3\), \(a_5 = 19\) et \(n = 5\). En remplaçant, nous obtenons :
\[ S_5 = \frac{5}{2} \times (3 + 19) = \frac{5}{2} \times 22 = 5 \times 11 = 55 \]
Ainsi, la somme des 5 premiers termes est 55.
Un autre exemple serait de calculer la somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique définie par \(a_1 = 2\) et \(d = 4\).
Nous commençons par déterminer le 10e terme :
\[ a_{10} = a_1 + (10 – 1)d = 2 + 9 \times 4 = 2 + 36 = 38 \]
Ensuite, nous appliquons la formule :
\[ S_{10} = \frac{10}{2} \times (2 + 38) = 5 \times 40 = 200 \]
La somme des 10 premiers termes est donc 200.
Ces exemples montrent comment les sommes arithmétiques permettent de calculer efficacement la somme des termes d’une suite arithmétique.