Les sommes télescopiques sont une technique mathématique puissante utilisée pour simplifier le calcul de certaines séries en exploitant des simplifications successives. Elles sont particulièrement utiles pour évaluer des sommes infinies ou finies de manière efficace.
Sommes télescopiques
Une somme télescopique est une somme où chaque terme se décompose en une différence de deux termes consécutifs, ce qui permet une simplification significative. Formellement, une somme télescopique s’écrit :
\[ \sum_{k=1}^{n} (a_k – a_{k+1}) \]
Lorsqu’on développe cette somme, la plupart des termes s’annulent, et il ne reste que :
\[ a_1 – a_{n+1} \]
Cette propriété rend les sommes télescopiques très utiles pour calculer des sommes complexes en les réduisant à une expression simple. Elles sont également utilisées pour prouver des convergences de séries infinies.
Exemples sur Sommes télescopiques
Prenons un exemple concret pour illustrer l’utilisation des sommes télescopiques. Considérons la somme suivante :
\[ \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\right) \]
En développant cette somme, on obtient :
\[ \left(\frac{1}{1} – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right) \]
On remarque que les termes intermédiaires s’annulent, et il ne reste que :
\[ 1 – \frac{1}{n+1} \]
Ainsi, la somme télescopique se simplifie en :
\[ \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\right) = 1 – \frac{1}{n+1} \]
Pour \(n = 5\), par exemple, la somme vaut :
\[ 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]
Un autre exemple serait de calculer la somme suivante :
\[ \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k(k+1)}\right) \]
On peut réécrire cette somme en utilisant une décomposition en fractions partielles :
\[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \]
Ainsi, la somme devient :
\[ \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\right) \]
En appliquant la simplification télescopique, on obtient :
\[ 1 – \frac{1}{n+1} \]
Pour \(n = 10\), la somme vaut :
\[ 1 – \frac{1}{11} = \frac{10}{11} \]
Ces exemples montrent comment les sommes télescopiques permettent de simplifier des calculs complexes en exploitant des annulations successives.