L’Inégalité de Cauchy-Schwarz est un résultat fondamental en algèbre linéaire et en analyse, avec de vastes applications dans divers domaines des mathématiques et au-delà.
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient \( (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) \) un espace préhilbertien (réel ou complexe), et soient \( x, y \in E \). Alors, l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’énonce comme suit :
\[ |\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\| \]où \( \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} \) est la norme induite par le produit scalaire.
De plus, il y a égalité si et seulement si \(x\) et \(y\) sont linéairement dépendants (colinéaires), c’est-à-dire s’il existe un scalaire \( \lambda \) tel que \( x = \lambda y \) ou \( y= \lambda x\).
Démonstration (Cas réel):
Considérons le polynôme du second degré en \(t \in \mathbb{R}\) :
\[ P(t) = \|x + ty\|^2 = \langle x + ty, x + ty \rangle \]En développant, on obtient :
\[ P(t) = \langle x, x \rangle + 2t\langle x, y \rangle + t^2 \langle y, y \rangle = \|x\|^2 + 2t\langle x, y \rangle + t^2 \|y\|^2 \]Puisque \(P(t)\) est toujours positif ou nul (car c’est une norme au carré), son discriminant doit être négatif ou nul. Le discriminant est :
\[ \Delta = (2\langle x, y \rangle)^2 – 4\|x\|^2 \|y\|^2 = 4(\langle x, y \rangle^2 – \|x\|^2 \|y\|^2) \]La condition \( \Delta \le 0 \) implique :
\[ \langle x, y \rangle^2 \le \|x\|^2 \|y\|^2 \]En prenant la racine carrée des deux côtés (qui sont positifs), on obtient l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
\[ |\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\| \]Cas d’égalité: Si \(x\) et \(y\) sont linéairement dépendants, alors l’égalité est immédiate. Réciproquement, si l’égalité est vérifiée, alors le discriminant est nul, ce qui signifie que \(P(t)\) a une racine réelle. Soit \(t_0\) cette racine. Alors \( \|x + t_0 y\|^2 = P(t_0) = 0 \), ce qui implique \( x + t_0 y = 0 \), donc \(x\) et \(y\) sont linéairement dépendants.
Exemples sur l’Inégalité de Cauchy-Schwarz
Exemple 1: Dans \( \mathbb{R}^n \) avec le produit scalaire usuel, soient \( x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \) et \( y = (y_1, y_2, \dots, y_n) \). L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit :
\[ \left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2} \]Application numérique: Soient \( x = (1, 2, 3) \) et \( y = (4, 5, 6) \). Alors :
\[ |\langle x, y \rangle| = |1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6| = |4 + 10 + 18| = 32 \] \[ \|x\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} \] \[ \|y\| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{77} \] \[ \|x\| \|y\| = \sqrt{14} \sqrt{77} = \sqrt{1078} \approx 32.83 \] On vérifie bien que \( 32 \le \sqrt{1078} \).Exemple 2: Dans l’espace des fonctions continues sur un intervalle \( [a, b] \), \( C([a, b]) \), avec le produit scalaire :
\[ \langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) dt \]L’inégalité de Cauchy-Schwarz devient :
\[ \left| \int_a^b f(t)g(t) dt \right| \le \sqrt{\int_a^b f(t)^2 dt} \sqrt{\int_a^b g(t)^2 dt} \]Application: Montrer que pour toute fonction \(f\) continue sur \([0,1]\), on a \[\left( \int_0^1 f(x) dx \right)^2 \leq \int_0^1 (f(x))^2 dx.\]
Réponse: On applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz aux fonctions \(f(x)\) et \(g(x)=1\) sur l’intervalle \([0,1]\): \[\left| \int_0^1 f(x) \cdot 1 dx \right| \leq \sqrt{\int_0^1 f(x)^2 dx} \sqrt{\int_0^1 1^2 dx}\] \[ \left| \int_0^1 f(x)dx \right| \leq \sqrt{\int_0^1 f(x)^2 dx} \sqrt{1} \] En élevant au carré les deux membres (qui sont positifs), on obtient bien: \[ \left( \int_0^1 f(x) dx \right)^2 \leq \int_0^1 (f(x))^2 dx \]