L’Inégalité de Bernoulli (Mot clé) est une inégalité élémentaire qui est cependant extrêmement utile dans divers domaines des mathématiques, notamment en analyse et en théorie des probabilités.
Inégalité de Bernoulli
L’Inégalité de Bernoulli stipule que pour tout nombre réel \(x \ge -1\) et tout entier naturel \(n\), on a :
\[ (1 + x)^n \ge 1 + nx \]
Cette inégalité est fondamentale car elle permet de minorer une puissance par une fonction affine. Elle est souvent utilisée pour démontrer d’autres inégalités ou pour étudier le comportement asymptotique de suites et de fonctions.
Exemples sur Inégalité de Bernoulli
Exemple 1 : Vérifions l’inégalité pour \(n = 3\) et \(x = 0.1\).
Selon l’Inégalité de Bernoulli, on devrait avoir :
\[ (1 + 0.1)^3 \ge 1 + 3 \times 0.1 \]
Calculons le membre de gauche :
\[ (1.1)^3 = 1.331 \]
Et le membre de droite :
\[ 1 + 3 \times 0.1 = 1 + 0.3 = 1.3 \]
On voit bien que \(1.331 \ge 1.3\), l’inégalité est donc vérifiée.
Exemple 2 : Utilisons l’inégalité pour prouver que pour \(x > 0\), la suite \((1 + \frac{x}{n})^n\) est croissante.
Considérons le rapport entre deux termes consécutifs :
\[ \frac{(1 + \frac{x}{n+1})^{n+1}}{(1 + \frac{x}{n})^n} \]
En utilisant l’Inégalité de Bernoulli, on peut montrer que ce rapport est supérieur ou égal à 1, ce qui implique la croissance de la suite. Pour cela, on écrit :
\[ \frac{(1 + \frac{x}{n+1})^{n+1}}{(1 + \frac{x}{n})^n} = (1 + \frac{x}{n+1}) \left( \frac{1 + \frac{x}{n+1}}{1 + \frac{x}{n}} \right)^n = (1 + \frac{x}{n+1}) \left( 1 – \frac{x}{n(n+1+x)} \right)^n \]
\[ \ge (1 + \frac{x}{n+1}) \left( 1 – \frac{nx}{n(n+1+x)} \right) = (1 + \frac{x}{n+1}) \left( 1 – \frac{x}{n+1+x} \right) \]
\[= 1 + \frac{x}{n+1} – \frac{x}{n+1+x} – \frac{x^2}{(n+1)(n+1+x)} = 1+\frac{x^2}{(n+1)(n+1+x)}-\frac{x^2}{(n+1)(n+1+x)}=1\]
Donc le rapport est bien supérieur ou égal à 1.