Inégalité de Hölder

Soient \( (E, \mathcal{A}, \mu) \) un espace mesuré, et soient \( p, q \in [1, +\infty] \) tels que \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \) (on dit que \(p\) et \(q\) sont des exposants conjugués). Soient \( f \in L^p(\mu) \) et \( g \in L^q(\mu) \). Alors, \( fg \in L^1(\mu) \) et l’inégalité de Hölder s’énonce comme suit :

\[ \|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q \]

C’est-à-dire :

\[ \int_E |f(x)g(x)| d\mu(x) \le \left( \int_E |f(x)|^p d\mu(x) \right)^{\frac{1}{p}} \left( \int_E |g(x)|^q d\mu(x) \right)^{\frac{1}{q}} \]

Si \(p = q = 2\), on retrouve l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Cas particuliers importants:

• Si \(p=1\), alors \(q = \infty\), et l’inégalité devient: \[ \int_E |f(x)g(x)| d\mu(x) \le \left( \int_E |f(x)| d\mu(x) \right) \cdot \text{ess sup}_{x \in E} |g(x)|\]
• Si l’espace mesuré est \((\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \text{mesure de comptage})\), on a l’inégalité pour les suites: si \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^p \) et \( (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^q\), alors \[ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n b_n| \le \left( \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{n=1}^{\infty} |b_n|^q \right)^{1/q} \]
• Si l’espace mesuré est \(\{1, 2, …, k\}, \mathcal{P}(\{1,2,…,k\}), \text{mesure de comptage})\) alors : \[ \sum_{i=1}^{k} |a_i b_i| \le \left( \sum_{i=1}^{k} |a_i|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^{k} |b_i|^q \right)^{1/q} \]

Cas d’égalité: Il y a égalité dans l’inégalité de Hölder si et seulement si \( |f|^p \) et \( |g|^q \) sont proportionnelles presque partout, c’est-à-dire s’il existe des constantes \( \alpha, \beta \ge 0 \), non simultanément nulles, telles que \( \alpha |f(x)|^p = \beta |g(x)|^q \) presque partout.

Démonstration (idée générale, cas \(1 < p < \infty\)):

1. On commence par prouver l’inégalité de Young: pour tous \( a, b \ge 0 \) et \( p, q \) conjugués, \[ ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \]
2. On pose \( A = \|f\|_p \) et \( B = \|g\|_q \). On peut supposer que \( A > 0 \) et \( B > 0 \) (sinon l’inégalité est triviale).
3. On applique l’inégalité de Young avec \( a = \frac{|f(x)|}{A} \) et \( b = \frac{|g(x)|}{B} \): \[ \frac{|f(x)g(x)|}{AB} \le \frac{1}{p} \frac{|f(x)|^p}{A^p} + \frac{1}{q} \frac{|g(x)|^q}{B^q} \]
4. On intègre sur \( E \) : \[ \frac{1}{AB} \int_E |f(x)g(x)| d\mu(x) \le \frac{1}{pA^p} \int_E |f(x)|^p d\mu(x) + \frac{1}{qB^q} \int_E |g(x)|^q d\mu(x) \] \[ \frac{\|fg\|_1}{AB} \le \frac{1}{p} \frac{\|f\|_p^p}{A^p} + \frac{1}{q} \frac{\|g\|_q^q}{B^q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \] \[ \|fg\|_1 \le AB = \|f\|_p \|g\|_q \]