L’Inégalité arithmético-géométrique est une inégalité fondamentale qui relie la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique d’un ensemble de nombres réels positifs.
Inégalité arithmético-géométrique
Soient \( x_1, x_2, \dots, x_n \) des nombres réels positifs. La moyenne arithmétique (MA) est définie par :
\[ MA = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]La moyenne géométrique (MG) est définie par :
\[ MG = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} \]L’inégalité arithmético-géométrique stipule que :
\[ MA \ge MG \]C’est-à-dire :
\[ \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} \]De plus, il y a égalité si et seulement si tous les \( x_i \) sont égaux, c’est-à-dire \( x_1 = x_2 = \dots = x_n \).
Démonstration (par récurrence):
Cas n = 2: On doit montrer que \( \frac{x_1 + x_2}{2} \ge \sqrt{x_1 x_2} \). Ceci est équivalent à \( x_1 + x_2 \ge 2\sqrt{x_1 x_2} \), ou encore \( (\sqrt{x_1} – \sqrt{x_2})^2 \ge 0 \), ce qui est toujours vrai.
Initialisation (n=1): L’inégalité est trivialement vraie car \(\frac{x_1}{1} = \sqrt[1]{x_1}\).
Hérédité: Supposons l’inégalité vraie pour un certain \( n \ge 1 \). Montrons qu’elle est vraie pour \( n+1 \). Soient \(x_1, …, x_{n+1}\) des réels positifs. On peut supposer, sans perte de généralité, que \(x_1 \leq x_2 \leq \dots \leq x_{n+1}\) . On pose: \(y_1 = \frac{x_1+x_2}{2}\) et \(y_2 = \frac{x_1+x_2}{2}\). Puis: \(y_i=x_{i+1} \) pour \(i \in \{3, \dots, n \}\) On applique l’hypothèse de récurrence avec \(y_1, y_2, \dots, y_n\), \(n\) éléments. \[\frac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n} \ge (y_1 y_2 \dots y_n)^{\frac{1}{n}} \] \[\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_{n+1}}{n} \ge \left( \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2 x_3 \dots x_{n+1}\right)^{\frac{1}{n}} \] Comme \(\frac{x_1+x_2}{2} \ge \sqrt{x_1 x_2}\), alors on a: \[ \left( \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2 x_3 \dots x_{n+1}\right)^{\frac{1}{n}} \ge (x_1 x_2 x_3 \dots x_{n+1})^{\frac{1}{n}}\] Donc : \[ \frac{x_1+ \dots + x_{n+1}}{n} \ge (x_1 \dots x_{n+1})^{\frac{1}{n}} \] Soit \(A_{n+1} = \frac{x_1+ \dots + x_{n+1}}{n+1} \) et \(G_{n+1} = (x_1 \dots x_{n+1})^{\frac{1}{n+1}} \). On va multiplier les deux membres de la dernière inégalité par \(\frac{n+1}{n}\). \[ \frac{n+1}{n}A_{n+1} – \frac{x_{n+1}}{n} \ge \frac{n+1}{n} G_n \] L’inégalité de concavité de la fonction \(x \mapsto x^{\frac{n+1}{n}}\) montre que : \[\frac{n+1}{n} G_n \ge G_{n+1}\] On aura : \(A_{n+1} \ge G_{n+1}\).
Exemples sur l’Inégalité arithmético-géométrique
Exemple 1: Soient \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 8 \), et \( x_3 = 5 \). Alors :
\[ MA = \frac{2 + 8 + 5}{3} = \frac{15}{3} = 5 \] \[ MG = \sqrt[3]{2 \cdot 8 \cdot 5} = \sqrt[3]{80} \approx 4.31 \] On vérifie bien que \( 5 \ge \sqrt[3]{80} \).Exemple 2: Montrer que pour tous réels \(a, b > 0 \), on a \( (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc \).
Réponse: On applique l’inégalité arithmético-géométrique à chaque paire :
\[ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \] \[ \frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc} \] \[ \frac{c+a}{2} \ge \sqrt{ca} \]En multipliant ces trois inégalités, on obtient :
\[ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8} \ge \sqrt{ab} \sqrt{bc} \sqrt{ca} = \sqrt{a^2 b^2 c^2} = abc \]Donc \( (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc \).
Exemple 3 : Montrons que si \(a,b,c\) sont des réels positifs, alors: \[(a+b+c) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \ge 9 \]
Réponse : En appliquant l’inégalité arithmético-géométrique pour \(a,b,c\) \[\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} \] Et en l’appliquant pour \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\): \[\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{abc}} \] En multipliant membre à membre, on obtient bien le résultat demandé : \[(a+b+c) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \ge 9 \]