L’Inégalité arithmético-harmonique est une inégalité reliant la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique d’un ensemble de nombres réels strictement positifs. Elle est un cas particulier de la relation entre les moyennes généralisées.
Inégalité arithmético-harmonique
Soient \( x_1, x_2, \dots, x_n \) des nombres réels strictement positifs. La moyenne arithmétique (MA) est définie par :
\[ MA = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]La moyenne harmonique (MH) est définie par :
\[ MH = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} \]L’inégalité arithmético-harmonique stipule que :
\[ MA \ge MH \]C’est-à-dire :
\[ \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} \]De plus, il y a égalité si et seulement si tous les \( x_i \) sont égaux, c’est-à-dire \( x_1 = x_2 = \dots = x_n \).
Démonstration:
Il existe plusieurs façons de démontrer cette inégalité. Voici deux approches :
1. En utilisant l’inégalité arithmético-géométrique:
Appliquons l’inégalité arithmético-géométrique aux nombres \( \frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \dots, \frac{1}{x_n} \) :
\[ \frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}{n} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} \cdot \dots \cdot \frac{1}{x_n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{x_1 x_2 \dots x_n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}} \]En inversant les deux membres (ce qui inverse le sens de l’inégalité puisque les termes sont positifs), on obtient :
\[ \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} \le \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} \]Le membre de gauche est \(MH\), et le membre de droite est la moyenne géométrique \(MG\). Or, on sait que \(MA \ge MG\). Donc, par transitivité :
\[ MA \ge MG \ge MH \]D’où \( MA \ge MH \).
2. En utilisant l’inégalité de Jensen:
La fonction \(f(x)=\frac{1}{x}\) est convexe sur \((0, +\infty)\). On peut utiliser l’inégalité de Jensen: \[f\left(\frac{x_1+\dots+x_n}{n}\right) \le \frac{f(x_1)+\dots+f(x_n)}{n} \] \[\frac{n}{x_1+x_2+\dots+x_n} \le \frac{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}{n}\] En prenant l’inverse des deux cotés: \[\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}} \]
Exemples sur l’Inégalité arithmético-harmonique
Exemple 1: Soient \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 4 \), et \( x_3 = 8 \). Alors :
\[ MA = \frac{2 + 4 + 8}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.67 \] \[ MH = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = \frac{3}{\frac{4+2+1}{8}} = \frac{3}{\frac{7}{8}} = \frac{24}{7} \approx 3.43 \]On vérifie bien que \( \frac{14}{3} \ge \frac{24}{7} \).
Exemple 2: Montrer que pour tout réel \( x > 0 \), on a \( x + \frac{1}{x} \ge 2 \).
Réponse: On applique l’inégalité arithmético-harmonique avec \( x_1 = x \) et \( x_2 = \frac{1}{x} \) :
\[ \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \frac{2}{ \frac{1}{x} + x } \] En multipliant les 2 membres par 2. \[ x + \frac{1}{x} \ge \frac{4}{x+\frac{1}{x}} \] Donc : \[ \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 \ge 4\] Comme \(x>0\), alors: \[ x + \frac{1}{x} \ge 2\]Exemple 3: Montrer que : Si \( a_1, a_2, \dots, a_n \) sont des réels strictement positifs, alors: \[ (a_1+a_2+\dots+a_n)\left( \frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n} \right) \ge n^2 \]
Réponse: On applique directement l’inégalité arithmético-harmonique: \[\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n} \ge \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}} \] En multipliant les deux membres par \( n \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} \right) \), qui est positif, on obtient : \[(a_1+a_2+\dots+a_n) \left(\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}\right) \ge n^2 \]