L’Inégalité de Jensen est un résultat fondamental en analyse convexe, qui établit une relation entre la valeur d’une fonction convexe en un point barycentrique et la moyenne pondérée des valeurs de la fonction aux points correspondants.
Inégalité de Jensen
Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \), et soit \( f : I \to \mathbb{R} \) une fonction convexe. Soient \( x_1, x_2, \dots, x_n \) des points de \( I \), et soient \( \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) des réels positifs tels que \( \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n = 1 \). Alors, l’inégalité de Jensen s’énonce comme suit :
\[ f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \]Si \( f \) est strictement convexe, il y a égalité si et seulement si tous les \( x_i \) sont égaux.
De manière équivalente, si \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(I\) et si \(f\) est convexe, alors: \[f(\mathbb{E}[X]) \le \mathbb{E}[f(X)]\] où \(\mathbb{E}\) désigne l’espérance.
Cas où f est concave : Si \( f \) est concave, l’inégalité est inversée :
\[ f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \ge \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \]Démonstration (par récurrence):
Cas n = 2: C’est la définition même de la convexité : \( f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \le \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) \) avec \( \lambda_1 + \lambda_2 = 1 \).
Hérédité: Supposons l’inégalité vraie pour \(n\) points. Montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\) points. Soient \(x_1, \dots, x_{n+1} \in I\) et \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n+1}\) des réels positifs de somme 1. On peut supposer \(\lambda_{n+1} \neq 1\) (sinon l’inégalité est triviale). On pose \(\mu_i = \frac{\lambda_i}{1 – \lambda_{n+1}}\) pour \(i=1, \dots, n\). On remarque que \(\sum_{i=1}^n \mu_i = 1\). On applique l’hypothèse de récurrence: \[f\left( \sum_{i=1}^n \mu_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^n \mu_i f(x_i)\] On pose \(y = \sum_{i=1}^n \mu_i x_i\). On a: \(\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i = (1-\lambda_{n+1})y + \lambda_{n+1}x_{n+1}\). Comme f est convexe: \[ f((1-\lambda_{n+1})y + \lambda_{n+1}x_{n+1}) \le (1-\lambda_{n+1})f(y) + \lambda_{n+1} f(x_{n+1})\] En remplaçant \(f(y)\) et \(y\): \[f\left(\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i\right) \le (1-\lambda_{n+1}) \sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}} f(x_i) + \lambda_{n+1}f(x_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i f(x_i)\]
Exemples sur l’Inégalité de Jensen
Exemple 1 (Inégalité arithmético-géométrique): La fonction \( f(x) = -\ln(x) \) est convexe sur \( (0, +\infty) \). Soient \( x_1, x_2, \dots, x_n > 0 \) et \( \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = \frac{1}{n} \). L’inégalité de Jensen donne :
\[ -\ln\left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right) \le -\frac{1}{n} \left( \ln(x_1) + \ln(x_2) + \dots + \ln(x_n) \right) = -\ln(\sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}) \]En prenant l’exponentielle des deux membres (qui est croissante), on retrouve l’inégalité arithmético-géométrique :
\[ \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} \]Exemple 2: Soit \(f(x) = x^2\). \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Soient \(x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}\) et \(\lambda_i = \frac{1}{n}\). L’inégalité de Jensen donne: \[\left(\frac{x_1+\dots+x_n}{n}\right)^2 \le \frac{x_1^2+\dots+x_n^2}{n} \]
Exemple 3 (Inégalité de Hölder pour les sommes): Soient \(p,q > 1\) tels que \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\), et soient \(a_i, b_i \ge 0\). On veut montrer que : \[ \sum_{i=1}^n a_i b_i \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^n b_i^q \right)^{1/q} \] On pose \(A = \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p}\) et \(B= \left( \sum_{i=1}^n b_i^q \right)^{1/q}\). On peut supposer que \(A\) et \(B\) sont non nuls. On pose aussi \(x_i = \frac{a_i^p}{A^p}\), \(y_i = \frac{b_i^q}{B^q}\) , \(\lambda_i = \frac{1}{n}\). On a : \[ \sum_{i=1}^n x_i = 1\] \[ \sum_{i=1}^n y_i = 1\] La fonction \(f(x) = x^{1/p}\) est concave car \(0 < 1/p < 1\), donc : \[ \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i\right)^{1/p} \le \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^{1/p}\] En utilisant l'inégalité de Young : \[ a_ib_i \le \frac{a_i^p}{p} + \frac{b_i^q}{q} \]