L’Inégalité de Markov, du nom du mathématicien russe Andreï Markov, est une inégalité en théorie des probabilités qui fournit une borne supérieure pour la probabilité qu’une variable aléatoire positive dépasse un certain seuil.
Inégalité de Markov
Soit \( X \) une variable aléatoire positive (c’est-à-dire \( X \ge 0 \) presque sûrement) et soit \( a > 0 \). Alors, l’inégalité de Markov s’énonce comme suit :
\[ P(X \ge a) \le \frac{\mathbb{E}[X]}{a} \]où \( \mathbb{E}[X] \) désigne l’espérance mathématique de \( X \).
De façon plus générale, si \(\phi\) est une fonction croissante et strictement positive sur \([0,+\infty[\) et si \(X\) est une variable aléatoire, alors : \[P(|X| \ge a) \le \frac{\mathbb{E}[\phi(|X|)]}{\phi(a)}\]
Démonstration:
On peut démontrer l’inégalité de Markov en utilisant la fonction indicatrice. Soit \( I_{\{X \ge a\}} \) la fonction indicatrice de l’événement \( \{X \ge a\} \), définie par :
\[ I_{\{X \ge a\}} = \begin{cases} 1 & \text{si } X \ge a \\ 0 & \text{si } X < a \end{cases} \]Puisque \( X \ge 0 \), on a :
\[ X \ge a I_{\{X \ge a\}} \]En effet, si \( X \ge a \), alors \( a I_{\{X \ge a\}} = a \le X \). Si \( X < a \), alors \( a I_{\{X \ge a\}} = 0 \le X \).
En prenant l’espérance des deux membres, et en utilisant la linéarité de l’espérance et le fait que \( \mathbb{E}[I_{\{X \ge a\}}] = P(X \ge a) \), on obtient :
\[ \mathbb{E}[X] \ge \mathbb{E}[a I_{\{X \ge a\}}] = a \mathbb{E}[I_{\{X \ge a\}}] = a P(X \ge a) \]En divisant par \( a \) (qui est strictement positif), on obtient l’inégalité de Markov :
\[ P(X \ge a) \le \frac{\mathbb{E}[X]}{a} \]Démonstration (Cas général):
\(X\) est une variable aléatoire et \(\phi\) une fonction croissante et positive. On a : \[ P(|X| \ge a) = P(\phi(|X|) \ge \phi(a)) \] On peut appliquer l’inégalité de Markov usuelle, car \(\phi(|X|)\) est une variable aléatoire positive : \[ P(\phi(|X|) \ge \phi(a)) \le \frac{\mathbb{E}[\phi(|X|)]}{\phi(a)} \]
Exemples sur l’Inégalité de Markov
Exemple 1: Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \( \lambda > 0 \). Alors \( \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda} \). L’inégalité de Markov donne :
\[ P(X \ge a) \le \frac{1}{\lambda a} \]La vraie probabilité est \( P(X \ge a) = e^{-\lambda a} \). On peut vérifier que \( e^{-\lambda a} \le \frac{1}{\lambda a} \) n’est pas toujours vrai (par exemple, pour \( \lambda a \) très petit), mais l’inégalité de Markov fournit une borne supérieure, même si elle n’est pas toujours très précise.
Exemple 2: Supposons que le salaire annuel moyen dans une entreprise soit de 30 000 euros. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard gagne plus de 150 000 euros par an ?
Réponse: Soit \( X \) le salaire annuel d’une personne choisie au hasard. On suppose que \( X \ge 0 \). On a \( \mathbb{E}[X] = 30000 \). En appliquant l’inégalité de Markov avec \( a = 150000 \), on obtient :
\[ P(X \ge 150000) \le \frac{30000}{150000} = \frac{1}{5} = 0.2 \]Donc, la probabilité qu’une personne gagne plus de 150 000 euros est d’au plus 20%.
Exemple 3: \(X\) est une variable aléatoire positive, et on sait que \(\mathbb{E}[X^2] = 5\). Trouver une borne supérieure pour \(P(X \ge 4)\).
Réponse: On applique l’inégalité de Markov généralisée avec \(\phi(x)=x^2\) \[P(X \ge 4) = P(X^2 \ge 16) \le \frac{\mathbb{E}[X^2]}{16} = \frac{5}{16}\]