L’Inégalité de Tchebychev, nommée d’après le mathématicien russe Pafnouti Tchebychev, est une inégalité en théorie des probabilités qui fournit une borne supérieure pour la probabilité qu’une variable aléatoire s’écarte de sa moyenne d’une certaine quantité.
Inégalité de Tchebychev
Soit \( X \) une variable aléatoire de moyenne \( \mu = \mathbb{E}[X] \) et de variance \( \sigma^2 = \text{Var}(X) \) (finies). Alors, pour tout \( k > 0 \), l’inégalité de Tchebychev s’énonce comme suit :
\[ P(|X – \mu| \ge k) \le \frac{\sigma^2}{k^2} \]De manière équivalente, on peut écrire :
\[ P(|X – \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2} \]Cette dernière forme montre que la probabilité que \( X \) s’écarte de sa moyenne de plus de \( k \) écarts-types est inférieure ou égale à \( \frac{1}{k^2} \).
Démonstration:
L’inégalité de Tchebychev découle directement de l’inégalité de Markov. On applique l’inégalité de Markov à la variable aléatoire \( (X – \mu)^2 \) et à la constante \( k^2 \) :
\[ P((X – \mu)^2 \ge k^2) \le \frac{\mathbb{E}[(X – \mu)^2]}{k^2} \]Or, \( (X – \mu)^2 \ge k^2 \) est équivalent à \( |X – \mu| \ge k \) (puisque la fonction racine carrée est croissante), et \( \mathbb{E}[(X – \mu)^2] = \text{Var}(X) = \sigma^2 \). Donc :
\[ P(|X – \mu| \ge k) \le \frac{\sigma^2}{k^2} \]Exemples sur l’Inégalité de Tchebychev
Exemple 1: Soit \(X\) une variable aléatoire de moyenne \(\mu = 10\) et d’écart-type \(\sigma = 2\). Quelle est la probabilité que \(X\) prenne une valeur en dehors de l’intervalle \([6, 14]\) ?
Réponse: On cherche \( P(|X – 10| \ge 4) \). On applique l’inégalité de Tchebychev avec \( k = 4\): \[ P(|X – 10| \ge 4) \le \frac{2^2}{4^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25.\] La probabilité que \(X\) soit en dehors de l’intervalle \([6,14]\) est inférieure à \(25\%\).
Exemple 2: Supposons que le nombre de clients qui visitent un magasin chaque jour soit une variable aléatoire de moyenne 50 et de variance 25. Quelle est la probabilité qu’il y ait entre 40 et 60 clients un jour donné ?
Réponse: Soit \( X \) le nombre de clients. On a \( \mu = 50 \) et \( \sigma^2 = 25 \), donc \( \sigma = 5 \). On cherche une borne pour \(P(40 \le X \le 60) = P(|X-50|\le 10)\). L’inégalité de Tchebychev donne une borne sur la probabilité de l’événement complémentaire : \[ P(|X – 50| \ge 10) \le \frac{25}{10^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \] Donc, \[P(40 \le X \le 60) = 1- P(|X-50| \ge 10) \ge 1-0.25= 0.75\] La probabilité est donc d’au moins \(75\%\).
Exemple 3 : \(X\) une variable aléatoire dont on connait \(\mathbb{E}[X] = 2\) et \(\mathbb{E}[X^2] = 8\). Donner une borne inférieure de \(P(-2 < X < 6)\).
Réponse : On a \(Var(X) = \mathbb{E}[X^2] – \mathbb{E}[X]^2 = 8-4=4\) donc \(\sigma=2\). On cherche \(P(-2 < X < 6) = P(|X-2| < 4)\). On utilise Tchebychev pour borner la probabilité de l'événement contraire : \[P(|X-2| \ge 4) \le \frac{4}{4^2} = \frac{1}{4}\] \[P(-2 < X < 6) = 1 - P(|X-2| \ge 4) \ge 1- \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\]